Figuras equivalentes son las que tienen la misma área siendo distintas. Para resolver gran parte de los ejercicios es necesario comprender los siguientes teoremas:
En la figura hay 3 triángulos proporcionales (de igual forma pero distinto tamaño): el mayor ADG, el medio CFG y el menor: ABE El triángulo mayor ADG es igual de forma (proporcional) al menor ABE pues como los 2 son rectángulos (tienen un ángulo de 90º) y el ángulo A es común a los dos, el otro ángulo (en rojo) es igual B=G. El medio CFG también es igual (proporcional) a ambos, pues tiene el G (en rojo) común y otro de 90º, por lo tanto C=A.
Teorema de Thales. Todos los ángulos inscritos periféricos comprendidos en el arco de una semicircunferencia son rectos.
Teorema de la altura: En un triángulo (en gris) un cateto C es a otro A como en el otro triángulo (en rojo dentro del cuadrado), B es a C. C/A =B/C, de ello se desprende que C.C =A.B Por tanto, el rectángulo verde es equivalente al cuadrado rojo.
Teorema del cateto: a.a = b. (b+c) El cuadrado del cateto a es igual al rectángulo determinado por la proyección b del cateto a sobre la hipotenusa y la hipotenusa b+c. El segmento a es a b, como b+c es a a, ya que los dos triángulos son proporcionales, según se vio en el primer ejercicio. Por tanto, el rectángulo rojo es equivalente al cuadrado verde.
Figuras equivalentes: las que tiene el mismo área, siendo distintas
En la figura tenemos 12 cuadrados divididos en cuatro partes iguales. Como las cuatro partes de los cuadrados son iguales de área, tenemos que las figuras interiores son equivalentes, de esta forma todas las figuras azules son iguales entre sí, las rojas también, así como las amarillas y las verdes. Y como cada una de estas es un cuarto del cuadrado, se tiene también que las azules son iguales a las rojas, a las amarillas y a las verdes, en definitiva que todas son iguales de área o equivalentes.
En el cuadrado uno a lo dividimos con dos segmentos ortogonales que pasan por el centro y no hay duda de que los cuatro cuadrados internos son iguales. Si giramos estos dos segmentos con un ángulo cualquiera estando el centro en el del cuadrado, tendremos un caso particular como el de C4, en que las partes siempre saldrán iguales. Un caso particular de éste es el A2. En el A3 tenemos que los cuatro triángulos tienen la misma base y la misma altura, al igual que en el A4. Combinado con este último y el A1, tenemos el B1. En el B2 tomamos la mitad de la figura roja, que tiene por base un cuarto del cuadrado y por altura otro cuarto, con lo que la figura es la mitad, sumando otro trozo igual tenemos la figura completa que es por tanto un cuarto del cuadrado. Lo mismo sucede con la siguiente, la B3. La B4 tiene a figuras con la misma base y la misma altura al igual que la c2. En la C1 tenemos la mitad del caso anterior y la otra mitad dividida entre dos, mientras que en la C3 tenemos la mitad dividida en dos partes y la otra mitad dividida en un rombo azul que se puede fragmentar en los cuatro triángulos amarillos.
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Triángulos equivalentes: si tienen la misma base, han de tener la misma altura para que sus áreas sean iguales. Por tanto basta con hacer una horizontal (paralela a la base) y por cualquier punto de esta recta colocar el vértice del nuevo triángulo.
La curva plana que describe un punto fijo situado en una circunferencia, de manera que gira sobre una recta sin resbalar describe una curva como con la que vemos en el dibujo, llamada cicloide.
Curiosamente la zona azul tiene la misma área que la circunferencia que gira y también tiene la misma área que la zona verde. Esto quiere decir que la área bajo la curva hasta la recta por donde se desplaza la circunferencia es tres veces la circunferencia desplazada.(La zona azul, más amarilla, más la verde es tres veces la circunferencia amarilla).
En la parte superior vemos cómo transformar un cuadrado en un triángulo.
Cogemos los puntos medios del cuadrado y los unimos generando el triángulo amarillo en la parte superior, cogemos el centro de la base de ese triángulo y lo unimos con los puntos medios de los lados del cuadrado en su parte inferior, obteniendo el trapezoide de color rojo. Al terminar estas dos figuras nos quedan otros dos trapezoides, azul y verde, que al girarlos quedan los vemos en la figura del medio, esto es, al girarlos 180°.
Desplazando el triángulo amarillo a la parte inferior del trapezoide rojo obtenemos ya el triángulo equivalente al cuadrado original dado en la parte superior izquierda del dibujo.
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Otra forma de hacerlo es como las tres figuras de la parte inferior: dividimos el cuadrado en dos rectángulos azul y amarillo, los colocamos una continuación del otro como en la figura inferior del medio, cogemos los extremos de las bases y hacemos 2 rectas hasta lo que sería el centro del cuadrado superior del rectángulo azul original, obteniendo los triángulos rojos y verdes que como vemos tienen la misma área, de esta forma podemos construir el triángulo que aparece a la derecha en el borde inferior, lógicamente es una forma más sencilla que la anterior de construir un triángulo equivalente a un cuadrado, un triángulo que tiene el mismo área que el cuadrado.
Se trata de construir con esta figura dada por su contorno otras compuestas con figuras iguales en su contorno. Una solución es dividir la figura en formas geométricas más simples, como por ejemplo estos triángulos equiláteros.
Podemos observar una vez que lo tenemos coloreado que los triángulos equiláteros que tienen distintos colores, amarillo, azul, etc., construyen una figura equivalente a la anterior, que quiere decir que tiene la misma forma que la anterior, aunque de distinto tamaño, podemos ver que también por la disposición de los triángulos encajan unas en otras de manera que podemos construir una retícula con figuras como la dada. En este caso la figura que hemos obtenido tiene 1 área cuatro veces mayor que la anterior, podríamos seguir construyendo figuras con 1 área mayor.
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En la parte derecha vemos como un cuadrado se puede transformar en una cruz, simplemente quitándole los triángulos amarillos y girándolos 180°, de esta forma obtenemos la Cruz.
En el centro podemos observar otra forma de construir un cuadrado equivalente a la Cruz, observamos la división interior y podemos ver en la Cruz que los puntos por donde pasan las dos líneas ortogonales son los centros de los lados de los brazos de la cruz. Los colocamos tal y como aparecen en el dibujo.
En la parte izquierda podemos observar esta misma Cruz y vemos que al coger sus piezas y desplazarlas obtenemos otro cuadrado pero con 1 área doble de la Cruz ya que las cuatro piezas se transforman en ocho.
El pentagrama 1 tiene la franja amarilla equivalente a la suma de las 2 azules, por tanto en la 2 la amarilla tiene la misma área que la azul.
En la 3 se verifica: la azul es igual a la naranja y la rosa a la violeta, por tanto la suma de verde y rosa es de igual área que la suma de naranja y violeta.
En la figura tenemos un objeto que simula ser una pizza, se trata de repartirla en 12 trozos iguales de manera que a la mitad de ellos se le adjudica la parte central mientras que a la otra mitad la parte externa correspondiente a la circunferencia, podemos pensar un caso práctico en el caso de que a la mitad que le guste más el pan por eso coge el entorno de la circunferencia mientras que a los del centro les gusta más los otros ingredientes que se acumulan en la parte central.
Hacemos la circunferencia y como si fuéramos a dibujar un hexágono regular obtenemos los seis puntos de los centros de las circunferencias que rodean a la circunferencia azul. Como podemos ver en la intersección de las circunferencias salen formas lenticulares a las que añadimos la perpendicular trazada a la recta adyacente desde cada uno de los puntos de la circunferencia, de esta manera obtenemos fragmentos en color amarillo, verde y azul, todos iguales. La clave está en que todos esos elementos forman parte de una matriz polar o simetría radial de manera que las formas tienen la misma curvatura que la curvatura de la circunferencia azul. También las formas verdes son simétricas de las azules, y como las verdes son iguales que las amarillas, todos son iguales.
De esta forma hemos obtenido un reparto equitativo en 12 partes de manera que los que disfrutan de las zonas azules pueden disfrutar de la parte periférica o del contorno mientras que los demás de la zona central.
Transformar la matriz en 2 cuadrados de igual área
Transformar polígono en rectángulo
Se trata de construir una figura que es un número de veces mayor que otra dada. Por ejemplo, en la figura de la izquierda tenemos un cuadrado amarillo a del que se pide construir otro b (en color naranja) que sea dos veces mayor.
Para dibujarlo hacemos otro cuadrado (en color azul) y lo colocamos encima del cuadrado amarillo dado, con lo que tenemos un rectángulo. Por el teorema del cateto podemos transformar éste rectángulo en un cuadrado equivalente (con la misma área).
En la figura de la derecha tenemos como dato un cuadrado amarillo c del que se pide construir uno que tenga un área tres veces mayor. Como hicimos en el dibujo anterior, hacemos un rectángulo con el número de cuadrados que van a ser equivalentes al cuadrado mayor, en este caso como el nuevo cuadrado que vamos a calcular es tres veces mayor, tendremos que tener un rectángulo formado por tres cuadrados. Por el teorema del cateto transformamos este rectángulo formado por los tres cuadrados pequeños en el cuadrado de color naranja que tiene un área tres veces mayor que el cuadrado amarillo dado c.
Se trata de construir un cuadrado que es la mitad de otro.
En la figura la izquierda observamos un cuadrado verde claro del que hay
que construir otro que tenga la mitad de área, tomamos el lado de la base AB y
hacemos un arco con este radio hasta que corte a la diagonal AC, en el punto de
corte E obtenemos un punto que unido al extremo del lado A es la nueva diagonal del
cuadrado cuya área vale la mitad del original -cuadrado verde oscuro.
Fundamento: tenemos el cuadrado gris mayor,-a la derecha-, y
construimos cuatro cuadrados que tengan la misma área, para ello hacemos por el
centro dos rectas paralelas a sus lados obteniendo así la división en cuatro
cuadrados iguales, estos cuadrados iguales en color amarillo y rojo los ponemos
alineados tal como se ve en la figura.
En la esquina D1 del cuadrado amarillo superior
hacemos un arco marrón hasta que corte a la prolongación del lado en Z, a continuación
hacemos una semi circunferencia naranja de centro N1 y y radio N1-Z. Al prolongar los lados de los
cuatro cuadrados VO obtenemos en la intersección con la semicircunferencia J, el lado del cuadrado dado lo colocamos en la posición del cuadrado gris .
Hacemos otro arco siena cuyo centro es D1 y radio D1-S, tomamos la semi circunferencia rosa cuyo diámetro es D1-N1, al prolongar los dos
lados de la derecha de los cuadrados rojos obtenemos en la intersección con la
nueva circunferencia el punto O1, que unido al punto D1, nos determina el lado del
nuevo cuadrado azul claro que es la mitad del anterior, como podemos ver el arco de
circunferencia verde de radio D1-N1 intercepta a la diagonal del cuadrado azul claro según el método de
construcción anterior.
Para hallar un triángulo equivalente a un rectángulo y romboide, hacemos por ejemplo una línea que incida en su vértice A y punto medio de la base B.
Por el punto medio de AB hacemos una paralela h a la base CD. Por D y C hacemos rectas paralelas m y n a AB. La intersección de h con m y n nos determina QR.
CDQR es el romboide equivalente al triángulo ACD.
En la figura de la derecha el triángulo azul (construido con una vertical por D) se puede desplazar hasta C, transformando el romboide original en un rectángulo (en verde).
El teorema de las cuerdasSegún la potencia del punto O respecto a una circunferencia se tiene que el producto a.b=c.d es siempre constante, independientemente de la posición de las secantes:
om.om'=of.of´=K. Por tanto om es a of como of' es a om´, esto es, son proporcionales, de lo que se deduce que siendo las secantes proporcionales entre sí, los rectángulos son siempre equivalentes.
Demostración: http://tangencias-potencia.blogspot.com/
El teorema de Pitágoras gráficamente: La hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, esto es, el área del cuadrado mayor es igual (o equivalente) a la suma de los otros dos. De igual forma el área del cuadrado mayor menos el de otro cuadrado menor es igual al otro cuadrado, etc.
En el caso número uno, si al cuadrado ABCD le restamos cuatro triángulos (en el dibujo en color violeta) tenemos dos cuadrados que en el dibujo aparecen en color azul y rojo. En el caso número dos, si el mismo cuadrado le restamos los mismos triángulos violetas pero según esta otra disposición, tenemos otro cuadrado que en el dibujo aparece en color amarillo. En los dos casos como hemos restado únicamente cuatro triángulos violetas al mismo cuadrado hemos obtenido primero dos cuadrados azul y rojo y luego otro cuadrado amarillo, con lo que tenemos que los dos primeros cuadrados y el segundo son equivalentes. En el caso número tres observamos gráficamente la representación del teorema de Pitágoras que dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, o lo que es lo mismo, que el área del cuadrado azul más el área del cuadrado rojo es igual al área del cuadrado amarillo. En el dibujo verificamos que es cierto, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los catetos, dejando ver en el centro de los tres triángulos el triángulo rectángulo en color blanco.
Según el teorema del cateto el cuadrado violeta tiene la misma área que el rectángulo azul, y como éste tiene la misma que el triángulo amarillo pues los trozos que quedan en amarillo son como los que quedan en azul del rectángulo, tenemos que el cuadrado y el triángulo tienen la misma área.
El triángulo (amarillo más verde) es equivalente a un rectángulo (azul más verde) y a un cuadrado (en violeta). El cuadrado lo es al rectángulo por el teorema del cateto y éste al triángulo por 2 simetrías centrales de cada uno de los triángulos azul y amarillo: cada triángulo azul se transforma en otro amarillo tomando como centro de simetría un vértice del triángulo.
El teorema de Pitágoras por Dudeney
Si hacemos dos rectas perpendiculares que pasen por el centro del cuadrado amarillo y las cuatro partes en que lo dividen las disponemos como en el cuadrado azul, el cuadrado interno que queda en violeta es tal que sumada su área al área del amarillo es igual al área del azul más violeta..
Un rectángulo es equivalente al triángulo por ser los triángulos rojos iguales a los amarillos.
Según el teorema de Varignon, si en un cuadrilátero cogemos los puntos medios de sus lados obtenemos un paralelogramo de la mitad de área que el cuadrilátero. Si lo duplicamos tenemos una figura equivalente.
En la figura podemos observar como construir un triángulo (en violeta), equivalente al pentágono regular de color rosa. Transformamos el Pentágono en cinco triángulos iguales que unimos para formar un romboide y a continuación un rectángulo morado; luego por el teorema del cateto lo transformamos en un cuadrado azul de la misma área.
En el lado izquierdo inferior observamos cómo de un triángulo equilátero pasamos a rectángulo y luego a cuadrado equivalente. Observamos también en su parte superior un triangulo amarillo que relaciona los lados del cuadrado y rectángulo.
En el cuadrado azul construido anteriormente haremos exactamente lo mismo, colocamos ese triángulo prolongamos uno de sus lados y hacemos el giro para obtener la misma disposición que la figura anterior. De esta manera podemos obtener el rectángulo verde equivalente a las figuras grandes anteriores y por último el triángulo equilátero violeta equivalente al rectángulo verde.
Dado un hexágono H en el dibujo uno, se trata de construir un cuadrado equivalente. Construimos un trapecio equivalente T, en el dibujo dos en color azul. A continuación lo transformamos en un triángulo R equivalente al trapecio conforme al número tres, en el dibujo en color rojo. A continuación transformamos el triángulo R en un rectángulo rosa E según el dibujo cuatro. Por último, conforme al teorema del cateto transformamos el rectángulo de color rosa E en un cuadrado de color verde C. En el dibujo seis el hexágono H y el cuadrado C son equivalentes. Como hemos ido transformando unas figuras en otras manteniendo siempre invariables sus áreas, podemos comprobar en el dibujo cinco que todas las figuras son equivalentes: el hexágono, el trapecio, el triángulo, el rectángulo y el cuadrado.
Se trata de hacer un triángulo equivalente a un círculo. Se podría transformar el círculo en un cuadrado y este en un rectángulo por el método del teorema del cateto y posteriormente transformar el rectángulo en un triángulo. Para ahorrarnos estos pasos vamos a hacerlo directamente: el área del círculo es pi por el radio al cuadrado. El área del triángulo es base por altura partido por dos. Si tomamos como base del triángulo la longitud de la circunferencia tenemos que es dos por pi por el radio. En consecuencia el área del triángulo es el producto de la base, esto es dos por pi por el radio, por la altura r , a la que le damos el valor del radio y todo ello partido por dos. Tenemos por tanto que el área del triángulo es pi por el radio al cuadrado, igual que el círculo.
En la figura de la derecha podemos ver un cuadrado en cuyas esquinas colocamos cuatro triángulos rectángulos iguales. Podemos observar que en el centro nos queda un cuadrado de color amarillo, el mismo cuadrado aparece inscrito también en el cuadrado de la izquierda, y al mismo tiempo aparecen también los cuatro triángulos rectángulos dispuestos a la izquierda de forma vertical y por encima de forma apaisada. Como podemos ver el espacio que queda dentro del cuadrado de la izquierda son dos cuadrados en color verde y azul.
Como los cuatro triángulos naranjas dejan esos dos cuadrados verde y azul en el caso de la izquierda, y cómo esos mismos cuadrados dejan en su interior el cuadrado amarillo en el caso de la derecha, la suma de las áreas de los cuadrados verde y azul es igual al área del cuadrado amarillo.
Podemos observar también que el cuadrado amarillo es la hipotenusa al cuadrado mientras que el cuadrado verde es un cateto al cuadrado y el azul es otro cateto al cuadrado de cualquiera de los cuatro triángulos que aparecen en el interior. En consecuencia acabamos de demostrar el teorema de Pitágoras, que la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado mas otro cateto al cuadrado, o lo que es lo mismo que el área del cuadrado amarillo es igual a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados.
Equivalente a la anterior, en el medio, el cuadrado azul + amarillo +4 triángulos blancos, ocupan igual espacio que -a la dcha.-, el gris + los 4 blancos, eso significa que la suma del azul y amarillo es igual al área del gris, por tanto la suma de los cuadrados azul y amarillo es igual al cuadrado gris
Gráficamente podemos visualizar rápidamente quebrados proporcionales: en el círculo de la derecha 12 sectores circulares amarillos son a 16 sectores circulares (los azules más los amarillos) como en la circunferencia de la izquierda seis sectores circulares verdes son a ocho sectores circulares (los naranjas más los verdes). Observamos que el producto de medios es igual al producto de los extremos y que las dos figuras son divididas en fracciones a ¾: los sectores circulares amarillos son respecto a la circunferencia total ¾ de la misma, de la misma forma los sectores circulares verdes son también ¾ de la circunferencia completa. Tenemos en consecuencia que ¾, 6/8 y 12 /16 son elementos proporcionales y equivalentes, existe una relación de proporción entre ¾, 6/8 y 12 /16 y existe una relación de equivalencia: como las circunferencias son iguales, cada par de sectores circulares amarillos es equivalente (tienen el mismo área) a un sector circular verde, de igual forma cuatro sectores circulares amarillos son equivalentes a dos verdes, etc.
Un trapecio ACDE se transforma en un triángulo ACB. Se hace una paralela al segmento CD por él punto E. Donde esta recta paralela corte al segmento AD tenemos el nuevo vértice B del triángulo.
Para transformar cualquier polígono -a la izquierda- en otro que tenga un lado menos-a la derecha-, se toman dos puntos BC de dos lados contiguos y se traza el segmento que pasa por ellos, por el punto A se hace una paralela n al segmento anterior hasta que corte a la prolongación de la recta o -recta que pasa por c. Las rectas m n deben ser siempre paralelas, de esta forma se está transformando un triángulo en otro manteniendo la misma base m y la misma altura, sobre la recta n se coge cualquier punto por el cual se hace una perpendicular a la base m y así tenemos que todas las alturas son iguales.
En la figura de la izquierda ya se pudo demostrar que las tres figuras, el cuadrado, el rectángulo del triángulo, eran equivalentes. Para transformar el cuadrado en un rectángulo dado un segmento a del mismo, se hace un triángulo rectángulo y se toma como hipotenusa el lado del cuadrado, tomamos el lado del rectángulo como un cateto. Hacemos la mediatriz en la hipotenusa y donde corte a la prolongación del cateto a tenemos el centro de la circunferencia que pasa por los vértices cuadrado y cuyo diámetro es el otro lado del rectángulo.
Para determinar un trapecio equivalente a un polígono regular-a la izquierda-, se divide el polígono en triángulos cuyos vértices sean coincidentes en el centro de la figura. A continuación cogemos los triángulos y los disponemos como en la primera figura de la derecha, unos a continuación de otros, de esta forma obtenemos un trapecio. Podemos construir un rectángulo equivalente si cortamos uno de los triángulos -el rojo- y pasamos el otro trozo a la esquina opuesta, como se puede observar en la tercera figura empezando a contar por la izquierda. Por último podemos convertirlo en un romboide –a la derecha- si el último trozo rojo del rectángulo lo desplazamos y lo juntamos al otro trozo rojo como en la figura.
Tomamos dos cuadrados, el mediano y el menor de la figura, y los colocamos con una cara anexa y las bases alineadas. Alineamos el vértice superior derecho del mediano y el vértice derecho del menor. Este es el lado del cuadrado cuya área es la suma de los otros dos. Este teorema chino se puede comprobar al ver las figuras coloreadas: el cuadrado grande está compuesto de las zonas amarillas más 1 trozo naranja y azul que corresponden al cuadrado medio y más 1 trozo del violeta que corresponde al menor. Con ello queda demostrado que el cuadrado grande está formado por la suma de las áreas de los otros.
Otro ejemplo del caso anterior
Si desde un punto cualquiera de una hipérbola trazamos paralelas a las asíntotas, determinan con éstas un rombo o romboide que tiene siempre la misma área. En la figura todos los romboides -amarillo, azul, verde, etc- tienen igual área que el rombo rojo
Dado un cuadrado naranja- polígono cuatro- se pide hacer un triángulo- en color verde- equivalente, esto es, que tenga la misma área.
Se dibuja un triángulo equilátero cualquiera, por ejemplo de color rosa- polígono uno-, se coge la mitad de la altura y por ese punto E trazamos una horizontal ME. Al trazar verticales por los puntos AB obtenemos con la línea anterior el rectángulo amarillo.
Hacemos centro en A y con la distancia AB dibujamos la circunferencia roja que corta a la vertical j en G.
Hacemos una semi circunferencia verde de diámetro GA, donde corta a la prolongación del lado del rectángulo ML, obtenemos el punto I.
AI es el lado del cuadrado azul que es equivalente al triángulo rosa.
Hemos hecho el ejercicio al revés por ser más sencillo, partimos del triángulo. Ahora procedemos a resolverlo según el enunciado: en el ejercicio que hicimos vimos la relación que existe entre el triángulo equilátero y el cuadrado, como nos dan el cuadrado naranja, transformamos el lado del cuadrado azul m en el lado del cuadrado naranja g1 dado, teniendo el centro de la homotecia N, que alineándolo con el vértice superior del triángulo -C- transforma la medida del lado AC en el lado rojo h1 del triángulo verde. En consecuencia el triángulo verde es equivalente al triángulo naranja. Vídeo explicativo
El triángulo ABCD es equivalente al trapecio MNÑO. El romboide de la izquierda está formado por triángulo y trapecio que se transforma con una diagonal en otra figura igual mediante una simetría central. El trapecio ÑPCD es igual a la base del trapecio que acota el triángulo mayor.
Trapecio equivalente a rectángulo y a triángulo. Una forma fácil de hacer figuras semejantes es dividir los lados de la original en partes iguales, de esta forma es más fácil que encajen los trozos para formar con ellos figuras nuevas.
En la figura observamos una forma de componer figuras equivalentes: triangular formas polígonales y construir con ellas nuevas formas.
En verde, rombo, romboide, trapecio y rectángulo son equivalentes por estar compuestas de los mismos triángulos rectángulos. El rectángulo rojo más verde ofrece otra posibilidad, la de construir áreas de otras proporciones, como doble en este caso.
Una forma de construir figuras equivalentes es hacer particiones de la siguiente forma: el rectángulo de la izquierda lo vamos a transformar en un trapecio, para ello lo dividimos en cuatro partes de las que son iguales dos y otras dos entre sí. Esta división nos genera un trapecio gris +1 triángulo rojo que lo giramos hasta situarlo sobre la base menor del trapecio. Para que el triángulo rojo tenga la misma pendiente que el trapecio ha de tener los 2 catetos iguales. Desplazamos a continuación el rectángulo amarillo sobre el azul ya que su partición era equitativa.
En la figura 1, el trapecio y pentágono son equivalentes pues los triángulos ADN y DBA, y AGE y AME tienen la misma base y altura por lo que sus áreas son iguales. En la figura 2, pentágono y triángulo son equivalentes por la misma razón.
En la figura de la izquierda observamos el teorema de cuerdas y cómo podemos obtener un rectángulo equivalente al cuadrado, de la misma forma podemos considerar el rectángulo que tiene por lados radio por pi por el radio, en consecuencia tendremos un círculo rojo tiene la misma área que el cuadrado azul.
En la figura del centro observamos el teorema del cateto y un cuadrado que es equivalente al rectángulo, como podemos observar el rectángulo tiene por lado menor el radio y por lado mayor pi por el radio, por tanto si cogemos como radio el lado del rectángulo tendremos que efectivamente el círculo será equivalente al cuadrado pues su área es igual que la del rectángulo.
En la figura de la derecha observamos el teorema del altura y que el rectángulo tiene por la 2 el radio y pi por el radio, el producto de ambos, es el área del círculo, en consecuencia hacemos un círculo amarillo que tiene por radio el lado menor del rectángulo y será equivalente al cuadrado verde ya que este es equivalente al rectángulo violeta.
A la derecha dentro del rectángulo azul tenemos un cilindro cuyo volumen es igual a la suma de los volúmenes del cono y esfera inscritos en el cilindro.
Según la demostración de Arquímedes y conforme tenemos a la izquierda la sección de las tres figuras, tenemos que en un cuadrado rojo se inscribe un círculo verde y un triángulo que tiene por altura el lado del cuadrado y por base también el lado del cuadrado. Si hacemos la revolución de la mitad de las tres figuras respecto al eje vertical central obtendremos los tres volúmenes de la derecha, de los que ya sabemos que al sumar el volumen del cono más el volumen de la esfera obtenemos el volumen del cilindro y eso es lo que demuestra uno de los teoremas de Arquímedes que podemos observar la demostración en el siguiente vídeo:
Dibujamos un cuadrado verde que es de lado un cuarto de la circunferencia X en la que circunscribe y cuyo vértice A está centrado en el centro de la misma. Si trazamos su diagonal AC y una recta secante K en color rojo vemos que corta a la diagonal en un punto F y observamos que la recta roja corta al arco circular en otro punto G.
Si consideramos ahora la distancia desde E hasta la intersección F de la recta roja K con la diagonal AC tendremos el lado EF del cuadrado azul mientras que si consideramos la intersección con la circunferencia tendremos el lado EG del cuadrado amarillo.
Como podemos observar la suma de las áreas del cuadrado amarillo más el cuadrado azul es igual al área del cuadrado verde y ello se basa también en la demostración anterior del video correspondiente al Teorema de Arquímedes. Del mismo se desprende la equivalencia que existe entre la suma del volumen del cono más la de la esfera, que es igual al volumen del cilindro que inscribe a ambas figuras.
Enanos equivalentes
En la figura superior vemos un rectángulo que contiene 15 enanos, mientras que en la figura inferior vemos otro rectángulo que contiene 14. Los dos rectángulos son iguales, tienen sus franjas inferiores invariables, mientras que las dos franjas superiores de cada rectángulo se intercambian, la de la derecha pasa a la izquierda y la de la izquierda a la derecha. Como podemos comprobar al hacer el intercambio varía el número de enanos. ¿A dónde se ha ido el enano que falta?
¡Nos están creciendo los enanos!
Una solución se puede ver en el siguiente esquema, las dos franjas que se intercambian tienen los mismos dibujos por lo que debería salir exactamente la misma superficie de dibujo de enanos. Si la superficie de figuras resulta invariable y se pierde un enano por el camino, la solución sólo puede estar en que al combinar las dos franjas en distintas posiciones, cuando sale un enano menos, quiere decir que han crecido los demás enanos. En el dibujo de la derecha se puede comprobar mediante un esquema que efectivamente nos crecen los enanos, el fragmento superior de la izquierda A (en color azul), al pasarlo a la derecha y contabilizarlo con los de abajo siguen saliendo cinco enanos, pero en el dibujo ya se ve uno un poco más grande (el tercero contando por la derecha). La franja B del extremo superior derecho (en color amarillo), al pasarla a la izquierda observamos que se pierde un enano por el camino, pero también podemos observar que el de la izquierda del dibujo inferior crece el primer enano contando por la izquierda.
En esta figura formada por segmentos rojos y verdes podemos observar una explicación más intuitiva del ejercicio anterior. A la izquierda tenemos que los segmentos rojos y verdes unidos forman 9 segmentos de mayor dimensión que los 10 de la figura de la derecha. Tomamos la figura de la izquierda y cogemos el triángulo inferior de segmentos verdes y hacemos un desplazamiento del triángulo, conseguimos por tanto la figura de la derecha en la que la suma de los segmentos rojos más los verdes tienen menor dimensión, pero como no puede bajar la longitud total de la suma de los segmentos ya que siguen existiendo todos, aparece uno más para compensar la pérdida en su longitud.
Otro ejemplo más claro por haber menos figuras:
A la derecha vemos cómo los rectángulos incrementan su tamaño a costa de perder un rectángulo.
Como el área de un círculo es el radio al cuadrado por 3,14 y el de la elipse es el semidiámetro mayor por el semidiámetro menor por 3,14, tenemos que si queremos hacer una elipse equivalente a un círculo, igualamos las áreas a.b.pi=r.r.pi, a.b=r.r y tenemos que el radio del círculo es igual al producto de los semidiámetros de la elipse dividido entre el radio. R=a.b/r, P.ej.: r=8.2/4, r=4
Por ejemplo, 4 × 4 = 16 y 8 x 2 = 16 el producto de dos semidiámetros 8 2 igual al producto de los radios 4 4. De la figura se desprende también que por ser común la zona blanca, el trozo azul tiene el mismo área que el trozo amarillo.
En la figura B tenemos un hexágono regular en el que los 2 triángulos superiores e inferiores se transforman en un rectángulo respectivamente -figura A. Tenemos en consecuencia un hexágono regular equivalente a un rectángulo. En la figura C directamente se cogen los triángulos del borde inferior y se trasladan a la parte superior, obteniendo así la misma figura.
el lado del cuadrado es media proporcional entre los lados del rectángulo: el lado menor del rectángulo es al lado del cuadrado como el lado del cuadrado es al lado mayor del rectángulo. Éste detalle que corresponde al teorema de la altura se puede observar en la figura ya que el lado menor del rectángulo está girado y pasa a ser el cateto menor del triángulo que tiene por cateto mayor el lado del cuadrado. Este cateto mayor se transforma en el menor del triángulo rectángulo cuyo cateto mayor es el lado mayor del rectángulo.
Para que el círculo tenga el mismo área que el cuadrado, igualamos las áreas. Despejando observamos que el lado del cuadrado es media proporcional entre el radio y entre el radio multiplicado por pi. En consecuencia cogemos como diámetro de la circunferencia gris dos dimensiones, la que corresponde al radio, y la que corresponde al radio por 3,14. En la separación de estas dos magnitudes levantamos una vertical hasta que corte a la semicircunferencia. Ese segmento vertical es el lado del cuadrado que es equivalente al círculo.
Gráficamente tenemos aquí el teorema de Pitágoras. De la misma forma los círculos inscritos en los cuadrados cumplen la misma condición que los cuadrados en el teorema: el área sumada de los dos círculos menores B C es igual al área del círculo mayor A.
