Dado un cuadrado naranja- polígono cuatro- se pide hacer un triángulo- en color verde- equivalente, esto es, que tenga la misma área.
Se dibuja un triángulo equilátero cualquiera, por ejemplo de color rosa- polígono uno-, se coge la mitad de la altura y por ese punto E trazamos una horizontal ME. Al trazar verticales por los puntos AB obtenemos con la línea anterior el rectángulo amarillo.
 Hacemos centro en A y con la distancia AB  dibujamos la circunferencia roja que corta a la vertical j en G.
Hacemos una semi circunferencia verde de diámetro GA, donde corta a la prolongación del lado del rectángulo ML, obtenemos el punto I.
AI  es el lado del cuadrado azul que es equivalente al triángulo rosa.
Hemos hecho el ejercicio al revés por ser más sencillo, partimos del triángulo. Ahora procedemos a resolverlo según el enunciado: en el ejercicio que hicimos vimos la relación que existe entre el triángulo equilátero y el cuadrado, como nos dan  el cuadrado naranja, transformamos el lado del cuadrado azul  m  en el lado del cuadrado naranja g1 dado, teniendo el centro de la homotecia N, que alineándolo con el vértice superior del triángulo -C- transforma la medida del lado AC en el lado rojo h1 del triángulo verde. En consecuencia el triángulo verde es equivalente al triángulo naranja.
Vídeo explicativo





El triángulo ABCD es equivalente al trapecio MNÑO. El romboide de la izquierda está formado por triángulo y trapecio que se transforma con una diagonal en otra figura igual mediante una simetría central. El trapecio ÑPCD es igual a la base del trapecio que acota el triángulo mayor.




Trapecio equivalente a rectángulo y a triángulo. Una forma fácil de hacer figuras semejantes es dividir los lados de la original en partes iguales, de esta forma es más fácil que encajen los trozos para formar con ellos figuras nuevas.


En la figura observamos una forma de componer figuras equivalentes: triangular formas polígonales y construir con ellas nuevas formas.
En verde, rombo, romboide, trapecio y rectángulo son equivalentes por estar compuestas de los mismos triángulos rectángulos. El rectángulo rojo más verde ofrece otra posibilidad, la de construir áreas de otras proporciones, como doble en este caso.





Una forma de construir figuras equivalentes es hacer particiones de la siguiente forma: el rectángulo de la izquierda lo vamos a transformar en un trapecio, para ello lo dividimos en cuatro partes de las que son iguales dos y otras dos entre sí. Esta división nos genera un trapecio gris +1 triángulo rojo que lo giramos hasta situarlo sobre la base menor del trapecio. Para que el triángulo rojo tenga la misma pendiente que el trapecio ha de tener los 2 catetos iguales. Desplazamos a continuación el rectángulo amarillo sobre el azul ya que su partición era equitativa.




En la figura 1, el trapecio y pentágono son equivalentes pues los triángulos ADN y DBA, y AGE y AME tienen la misma base y altura por lo que sus áreas son iguales. En la figura 2, pentágono y triángulo son equivalentes por la misma razón.

En la figura de la izquierda observamos el teorema de cuerdas y cómo podemos obtener un rectángulo equivalente al cuadrado, de la misma forma podemos considerar el rectángulo que tiene por lados radio por pi por el radio, en consecuencia tendremos un círculo rojo tiene la misma área que el cuadrado azul.

En la figura del centro observamos el teorema del cateto y un cuadrado que es equivalente al rectángulo, como podemos observar el rectángulo tiene por lado menor el radio y por lado mayor pi por el radio, por tanto si cogemos como radio el lado del rectángulo tendremos que efectivamente el círculo será equivalente al cuadrado pues su área es igual que la del rectángulo.

En la figura de la derecha observamos el teorema del altura y que el rectángulo tiene por la 2 el radio y pi por el radio, el producto de ambos, es el área del círculo, en consecuencia hacemos un círculo amarillo que tiene por radio el lado menor del rectángulo y será equivalente al cuadrado verde ya que este es equivalente al rectángulo violeta.

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A la derecha dentro del rectángulo azul tenemos un cilindro cuyo volumen es igual a la suma de los volúmenes del cono y esfera inscritos en el cilindro.

 Según la demostración de Arquímedes y conforme tenemos a la izquierda la sección de las tres figuras, tenemos que en un cuadrado rojo se inscribe un círculo verde y un triángulo que tiene por altura el lado del cuadrado y por base también el lado del cuadrado. Si hacemos la revolución de la mitad de las tres figuras respecto al eje vertical central obtendremos los tres volúmenes de la derecha, de los que ya sabemos que al sumar el volumen del cono más el volumen de la esfera obtenemos el volumen del cilindro y eso es lo que demuestra uno de los teoremas de Arquímedes que podemos observar la demostración en el siguiente vídeo:

Demostración:

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Dibujamos un cuadrado verde que es de lado un cuarto de la circunferencia X en la que circunscribe y cuyo vértice A está centrado en el centro de la misma. Si trazamos su diagonal AC y una recta secante K en color rojo vemos que corta a la diagonal en un punto F y observamos que la recta roja corta al arco circular en otro punto G.

 Si consideramos ahora la distancia desde E hasta la intersección F de la recta roja K con la diagonal AC tendremos el lado EF del cuadrado azul mientras que si consideramos la intersección con la circunferencia tendremos el lado EG del cuadrado amarillo. 

Como podemos observar la suma de las áreas del cuadrado amarillo más el cuadrado azul es igual al área del cuadrado verde y ello se basa también en la demostración anterior del video correspondiente al Teorema de Arquímedes. Del mismo se desprende  la equivalencia que existe entre la suma del volumen del cono más la de la esfera, que es igual al volumen del cilindro que inscribe a ambas figuras.