viernes, 15 de octubre de 2010

Algunos teoremas para construir figuras equivalentes:
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012/03/teorema-de-la-bisectriz.html

Figuras equivalentes son las que tienen la misma área siendo distintas.
Para resolver gran parte de los ejercicios es necesario comprender los siguientes teoremas:



En la figura hay 3 triángulos proporcionales (de igual forma pero distinto tamaño): el mayor ADG, el medio CFG y el menor: ABE
El triángulo mayor ADG es igual de forma (proporcional) al menor ABE pues como los 2 son rectángulos (tienen un ángulo de 90º) y el ángulo A es común a los dos, el otro ángulo (en rojo) es igual B=G. El medio CFG también es igual (proporcional) a ambos, pues tiene el G (en rojo) común y otro de 90º, por lo tanto C=A.



Teorema de Thales. Todos los ángulos inscritos periféricos comprendidos en el arco de una semicircunferencia son rectos.















Teorema de la altura: En un triángulo (en gris) un cateto C es a otro A como en el otro triángulo (en rojo dentro del cuadrado), B es a C.
C/A =B/C, de ello se desprende que C.C =A.B
Por tanto, el rectángulo verde es equivalente al cuadrado rojo.
















Teorema del cateto: a.a = b. (b+c)
El cuadrado del cateto a es igual al rectángulo determinado por la proyección b del cateto a sobre la hipotenusa y la hipotenusa b+c.
El segmento a es a b, como b+c es a a, ya que los dos triángulos son proporcionales, según se vio en el primer ejercicio. Por tanto, el rectángulo rojo es equivalente al cuadrado verde.

jueves, 14 de octubre de 2010

Figuras equivalentes: las que tiene el mismo área, siendo distintas



En la figura tenemos 12 cuadrados divididos en cuatro partes iguales. Como las cuatro partes de los cuadrados son iguales de área, tenemos que las figuras interiores son equivalentes, de esta forma todas las figuras azules son iguales entre sí, las rojas también, así como las amarillas y las verdes. Y como cada una de estas es un cuarto del cuadrado, se tiene también que las azules son iguales a las rojas, a las amarillas y a las verdes, en definitiva que todas son iguales de área o equivalentes.
En el cuadrado uno a lo dividimos con dos segmentos ortogonales que pasan por el centro y no hay duda de que los cuatro cuadrados internos son iguales. Si giramos estos dos segmentos con un ángulo cualquiera estando el centro en el del cuadrado, tendremos un caso particular como el de C4, en que las partes siempre saldrán iguales. Un caso particular de éste es el A2. En el A3 tenemos que los cuatro triángulos tienen la misma base y la misma altura, al igual que en el A4. Combinado con este último y el A1, tenemos el B1. En el B2 tomamos la mitad de la figura roja, que tiene por base un cuarto del cuadrado y por altura otro cuarto, con lo que la figura es la mitad, sumando otro trozo igual tenemos la figura completa que es por tanto un cuarto del cuadrado. Lo mismo sucede con la siguiente, la B3. La B4 tiene a figuras con la misma base y la misma altura al igual que la c2. En la C1 tenemos la mitad del caso anterior y la otra mitad dividida entre dos, mientras que en la C3 tenemos la mitad dividida en dos partes y la otra mitad dividida en un rombo azul que se puede fragmentar en los cuatro triángulos amarillos.




Triángulos equivalentes: si tienen la misma base, han de tener la misma altura para que sus áreas sean iguales. Por tanto basta con hacer una horizontal (paralela a la base) y por cualquier punto de esta recta colocar el vértice del nuevo triángulo.

Se trata de construir una figura que es un número de veces mayor que otra dada. Por ejemplo, en la figura de la izquierda tenemos un cuadrado amarillo a del que se pide construir otro b (en color naranja) que sea dos veces mayor.
Para dibujarlo hacemos otro cuadrado (en color azul) y lo colocamos encima del cuadrado amarillo dado, con lo que tenemos un rectángulo. Por el teorema del cateto podemos transformar éste rectángulo en un cuadrado equivalente (con la misma área).
En la figura de la derecha tenemos como dato un cuadrado amarillo c del que se pide construir uno que tenga un área tres veces mayor. Como hicimos en el dibujo anterior, hacemos un rectángulo con el número de cuadrados que van a ser equivalentes al cuadrado mayor, en este caso como el nuevo cuadrado que vamos a calcular es tres veces mayor, tendremos que tener un rectángulo formado por tres cuadrados. Por el teorema del cateto transformamos este rectángulo formado por los tres cuadrados pequeños en el cuadrado de color naranja que tiene un área tres veces mayor que el cuadrado amarillo dado c.




Se trata de construir un cuadrado  que es la mitad de otro. 
En la figura la izquierda observamos un cuadrado verde claro del que hay que construir otro   que tenga la mitad de área, tomamos el lado de la base AB y hacemos un arco con este radio hasta que corte a la diagonal AC, en el punto de corte E obtenemos un punto que unido al extremo del lado A es la nueva diagonal del cuadrado cuya área vale la mitad del original -cuadrado verde oscuro.
Fundamento: tenemos el cuadrado gris mayor,-a la derecha-, y construimos cuatro cuadrados que tengan la misma área, para ello hacemos por el centro dos rectas paralelas a sus lados obteniendo así la división en cuatro cuadrados iguales, estos cuadrados iguales en color amarillo y rojo los ponemos alineados tal como se ve en la figura.
 En la esquina D1 del cuadrado amarillo superior hacemos un arco marrón hasta que corte a la prolongación del lado en Z, a continuación hacemos una semi circunferencia naranja de centro N1 y y radio N1-Z. Al prolongar los lados de los cuatro cuadrados VO obtenemos en la intersección con la semicircunferencia J, el lado del cuadrado dado lo colocamos en la posición del cuadrado gris .
 Hacemos otro arco siena cuyo centro es D1 y radio D1-S, tomamos la semi circunferencia rosa cuyo diámetro es D1-N1, al prolongar los dos lados de la derecha de los cuadrados rojos obtenemos en la intersección con la nueva circunferencia el punto O1, que unido al punto D1, nos determina el lado del nuevo cuadrado azul claro que es la mitad del anterior, como podemos ver el arco de circunferencia verde de  radio D1-N1 intercepta a la diagonal del cuadrado azul claro según el método de construcción anterior.












Para hallar un triángulo equivalente a un rectángulo y romboide, hacemos por ejemplo una línea que incida en su vértice A y punto medio de la base B.
Por el punto medio de AB hacemos una paralela h a la base CD. Por D y C hacemos rectas paralelas m y n a AB. La intersección de h con m y n nos determina QR.
CDQR es el romboide equivalente al triángulo ACD.
En la figura de la derecha el triángulo azul (construido con una vertical por D) se puede desplazar hasta C, transformando el romboide original en un rectángulo (en verde).







El teorema de las cuerdasSegún la potencia del punto O respecto a una circunferencia se tiene que el producto a.b=c.d es siempre constante, independientemente de la posición de las secantes:
om.om'=of.of´=K. Por tanto om es a of como of' es a om´, esto es, son proporcionales, de lo que se deduce que siendo las secantes proporcionales entre sí, los rectángulos son siempre equivalentes.
Demostración: http://tangencias-potencia.blogspot.com/

Con el teorema de Ptolomeo podemos construir rectángulos equivalentes:
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com/2012/03/teorema-de-ptolomeo.html




El teorema de Pitágoras gráficamente: La hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, esto es, el área del cuadrado mayor es igual (o equivalente) a la suma de los otros dos. De igual forma el área del cuadrado mayor menos el de otro cuadrado menor es igual al otro cuadrado, etc.








En el caso número uno, si al cuadrado ABCD le restamos cuatro triángulos (en el dibujo en color violeta) tenemos dos cuadrados que en el dibujo aparecen en color azul y rojo.
En el caso número dos, si el mismo cuadrado le restamos los mismos triángulos violetas pero según esta otra disposición, tenemos otro cuadrado que en el dibujo aparece en color amarillo.
En los dos casos como hemos restado únicamente cuatro triángulos violetas al mismo cuadrado hemos obtenido primero dos cuadrados azul y rojo y luego otro cuadrado amarillo, con lo que tenemos que los dos primeros cuadrados y el segundo son equivalentes.
En el caso número tres observamos gráficamente la representación del teorema de Pitágoras que dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, o lo que es lo mismo, que el área del cuadrado azul más el área del cuadrado rojo es igual al área del cuadrado amarillo. En el dibujo verificamos que es cierto, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los catetos, dejando ver en el centro de los tres triángulos el triángulo rectángulo en color blanco.





















Según el teorema del cateto el cuadrado violeta tiene la misma área que el rectángulo azul, y como éste tiene la misma que el triángulo amarillo pues los trozos que quedan en amarillo son como los que quedan en azul del rectángulo, tenemos que el cuadrado y el triángulo tienen la misma área.

El triángulo (amarillo más verde) es equivalente a un rectángulo (azul más verde) y a un cuadrado (en violeta). El cuadrado lo es al rectángulo por el teorema del cateto y éste al triángulo por 2 simetrías centrales de cada uno de los triángulos azul y amarillo: cada triángulo azul se transforma en otro amarillo tomando como centro de simetría un vértice del triángulo.







El teorema de Pitágoras por Dudeney




Si hacemos dos rectas perpendiculares que pasen por el centro del cuadrado amarillo y las cuatro partes en que lo dividen las disponemos como en el cuadrado azul, el cuadrado interno que queda en violeta es tal que sumada su área al área del amarillo es igual al área del azul más violeta..






Un rectángulo es equivalente al triángulo por ser los triángulos rojos iguales a los amarillos.


Dado un hexágono H en el dibujo uno, se trata de construir un cuadrado equivalente. Construimos un trapecio equivalente T, en el dibujo dos en color azul. A continuación lo transformamos en un triángulo R equivalente al trapecio conforme al número tres, en el dibujo en color rojo. A continuación transformamos el triángulo R en un rectángulo rosa E según el dibujo cuatro. Por último, conforme al teorema del cateto transformamos el rectángulo de color rosa E en un cuadrado de color verde C. En el dibujo seis el hexágono H y el cuadrado C son equivalentes.
Como hemos ido transformando unas figuras en otras manteniendo siempre invariables sus áreas, podemos comprobar en el dibujo cinco que todas las figuras son equivalentes: el hexágono, el trapecio, el triángulo, el rectángulo y el cuadrado.

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Se trata de hacer un triángulo equivalente a un círculo. Se podría transformar el círculo en un cuadrado y este en un rectángulo por el método del teorema del cateto y posteriormente transformar el rectángulo en un triángulo. Para ahorrarnos estos pasos vamos a hacerlo directamente: el área del círculo es pi por el radio al cuadrado. El área del triángulo es base por altura partido por dos.
Si tomamos como base del triángulo la longitud de la circunferencia tenemos que es dos por pi por el radio. En consecuencia el área del triángulo es el producto de la base, esto es dos por pi por el radio, por la altura r , a la que le damos el valor del radio y todo ello partido por dos. Tenemos por tanto que el área del triángulo es pi por el radio al cuadrado, igual que el círculo.




Gráficamente podemos visualizar rápidamente quebrados proporcionales: en el círculo de la derecha 12 sectores circulares amarillos son a 16 sectores circulares (los azules más los amarillos) como en la circunferencia de la izquierda seis sectores circulares verdes son a ocho sectores circulares (los naranjas más los verdes). Observamos que el producto de medios es igual al producto de los extremos y que las dos figuras son divididas en fracciones a ¾: los sectores circulares amarillos son respecto a la circunferencia total ¾ de la misma, de la misma forma los sectores circulares verdes son también ¾ de la circunferencia completa. Tenemos en consecuencia que ¾, 6/8 y 12 /16 son elementos proporcionales y equivalentes, existe una relación de proporción entre ¾, 6/8 y 12 /16 y existe una relación de equivalencia: como las circunferencias son iguales, cada par de sectores circulares amarillos es equivalente (tienen el mismo área) a un sector circular verde, de igual forma cuatro sectores circulares amarillos son equivalentes a dos verdes, etc.


Un trapecio ACDE se transforma en un triángulo ACB. Se hace una paralela al segmento CD por él punto E. Donde esta recta paralela corte al segmento AD tenemos el nuevo vértice B del triángulo.





Para transformar cualquier polígono -a la izquierda- en otro que tenga un lado menos-a la derecha-, se toman dos puntos BC de dos lados contiguos y se traza el segmento que pasa por ellos, por el punto A se hace una paralela n al segmento anterior hasta que corte a la prolongación de la recta o -recta que pasa por c. Las rectas m n deben ser siempre paralelas, de esta forma se está transformando un triángulo en otro manteniendo la misma base m y la misma altura, sobre la recta n se coge cualquier punto por el cual se hace una perpendicular a la base m y así tenemos que todas las alturas son iguales.





En la figura de la izquierda ya se pudo demostrar que las tres figuras, el cuadrado, el rectángulo del triángulo, eran equivalentes. Para transformar el cuadrado en un rectángulo dado un segmento a del mismo, se hace un triángulo rectángulo y se toma como hipotenusa el lado del cuadrado, tomamos el lado del rectángulo como un cateto. Hacemos la mediatriz en la hipotenusa y donde corte a la prolongación del cateto a tenemos el centro de la circunferencia que pasa por los vértices cuadrado y cuyo diámetro es el otro lado del rectángulo.









Para determinar un trapecio equivalente a un polígono regular-a la izquierda-, se divide el polígono en triángulos cuyos vértices sean coincidentes en el centro de la figura. A continuación cogemos los triángulos y los disponemos como en la primera figura de la derecha, unos a continuación de otros, de esta forma obtenemos un trapecio.
Podemos construir un rectángulo equivalente si cortamos uno de los triángulos -el rojo- y pasamos el otro trozo a la esquina opuesta, como se puede observar en la tercera figura empezando a contar por la izquierda.
Por último podemos convertirlo en un romboide –a la derecha- si el último trozo rojo del rectángulo lo desplazamos y lo juntamos al otro trozo rojo como en la figura.






Tomamos dos cuadrados, el mediano y el menor de la figura, y los colocamos con una cara anexa y las bases alineadas. Alineamos el vértice superior derecho del mediano y el vértice derecho del menor. Este es el lado del cuadrado cuya área es la suma de los otros dos.
Este
teorema chino se puede comprobar al ver las figuras coloreadas: el cuadrado grande está compuesto de las zonas amarillas más 1 trozo naranja y azul que corresponden al cuadrado medio y más 1 trozo del violeta que corresponde al menor. Con ello queda demostrado que el cuadrado grande está formado por la suma de las áreas de los otros.

El triángulo ABCD es equivalente al trapecio MNÑO. El romboide de la izquierda está formado por triángulo y trapecio que se transforma con una diagonal en otra figura igual mediante una simetría central. El trapecio ÑPCD es igual a la base del trapecio que acota el triángulo mayor.




Trapecio equivalente a rectángulo y a triángulo. Una forma fácil de hacer figuras semejantes es dividir los lados de la original en partes iguales, de esta forma es más fácil que encajen los trozos para formar con ellos figuras nuevas.


En la figura observamos una forma de componer figuras equivalentes: triangular formas polígonales y construir con ellas nuevas formas.
En verde, rombo, romboide, trapecio y rectángulo son equivalentes por estar compuestas de los mismos triángulos rectángulos. El rectángulo rojo más verde ofrece otra posibilidad, la de construir áreas de otras proporciones, como doble en este caso.





Una forma de construir figuras equivalentes es hacer particiones de la siguiente forma: el rectángulo de la izquierda lo vamos a transformar en un trapecio, para ello lo dividimos en cuatro partes de las que son iguales dos y otras dos entre sí. Esta división nos genera un trapecio gris +1 triángulo rojo que lo giramos hasta situarlo sobre la base menor del trapecio. Para que el triángulo rojo tenga la misma pendiente que el trapecio ha de tener los 2 catetos iguales. Desplazamos a continuación el rectángulo amarillo sobre el azul ya que su partición era equitativa.




En la figura 1, el trapecio y pentágono son equivalentes pues los triángulos ADN y DBA, y AGE y AME tienen la misma base y altura por lo que sus áreas son iguales. En la figura 2, pentágono y triángulo son equivalentes por la misma razón.


Enanos equivalentes
En la figura superior vemos un rectángulo que contiene 15 enanos, mientras que en la figura inferior vemos otro rectángulo que contiene 14. Los dos rectángulos son iguales, tienen sus franjas inferiores invariables, mientras que las dos franjas superiores de cada rectángulo se intercambian, la de la derecha pasa a la izquierda y la de la izquierda a la derecha. Como podemos comprobar al hacer el intercambio varía el número de enanos. ¿A dónde se ha ido el enano que falta?



¡Nos están creciendo los enanos!
Una solución se puede ver en el siguiente esquema, las dos franjas que se intercambian tienen los mismos dibujos por lo que debería salir exactamente la misma superficie de dibujo de enanos. Si la superficie de figuras resulta invariable y se pierde un enano por el camino, la solución sólo puede estar en que al combinar las dos franjas en distintas posiciones, cuando sale un enano menos, quiere decir que han crecido los demás enanos. En el dibujo de la derecha se puede comprobar mediante un esquema que efectivamente nos crecen los enanos, el fragmento superior de la izquierda A (en color azul), al pasarlo a la derecha y contabilizarlo con los de abajo siguen saliendo cinco enanos, pero en el dibujo ya se ve uno un poco más grande (el tercero contando por la derecha). La franja B del extremo superior derecho (en color amarillo), al pasarla a la izquierda observamos que se pierde un enano por el camino, pero también podemos observar que el de la izquierda del dibujo inferior crece el primer enano contando por la izquierda.




En esta figura formada por segmentos rojos y verdes podemos observar una explicación más intuitiva del ejercicio anterior. A la izquierda tenemos que los segmentos rojos y verdes unidos forman 9 segmentos de mayor dimensión que los 10 de la figura de la derecha. Tomamos la figura de la izquierda y cogemos el triángulo inferior de segmentos verdes y hacemos un desplazamiento del triángulo, conseguimos por tanto la figura de la derecha en la que la suma de los segmentos rojos más los verdes tienen menor dimensión, pero como no puede bajar la longitud total de la suma de los segmentos ya que siguen existiendo todos, aparece uno más para compensar la pérdida en su longitud. 





Como el área de un círculo es el radio al cuadrado por 3,14 y el de la elipse es el semidiámetro mayor por el semidiámetro menor por 3,14, tenemos que si queremos hacer una elipse equivalente a un círculo, igualamos las áreas a.b.pi=r.r.pi, a.b=r.r y tenemos que el radio del círculo es igual al producto de los semidiámetros de la elipse dividido entre el radio. R=a.b/r, P.ej.: r=8.2/4, r=4
Por ejemplo, 4 × 4 = 16 y 8 x 2 = 16 el producto de dos semidiámetros 8 2 igual al producto de los radios 4 4. De la figura se desprende también que por ser común la zona blanca, el trozo azul tiene el mismo área que el trozo amarillo.






En la figura B tenemos un hexágono regular en el que los 2 triángulos superiores e inferiores se transforman en un rectángulo respectivamente -figura A. Tenemos en consecuencia un hexágono regular equivalente a un rectángulo. En la figura C directamente se cogen los triángulos del borde inferior y se trasladan a la parte superior, obteniendo así la misma figura.




el lado del cuadrado es media proporcional entre los lados del rectángulo: el lado menor del rectángulo es al lado del cuadrado como el lado del cuadrado es al lado mayor del rectángulo. Éste detalle que corresponde al teorema de la altura se puede observar en la figura ya que el lado menor del rectángulo está girado y pasa a ser el cateto menor del triángulo que tiene por cateto mayor el lado del cuadrado. Este cateto mayor se transforma en el menor del triángulo rectángulo cuyo cateto mayor es el lado mayor del rectángulo.





Para que el círculo tenga el mismo área que el cuadrado, igualamos las áreas. Despejando observamos que el lado del cuadrado es media proporcional entre el radio y entre el radio multiplicado por pi. En consecuencia cogemos como diámetro de la circunferencia gris dos dimensiones, la que corresponde al radio, y la que corresponde al radio por 3,14. En la separación de estas dos magnitudes levantamos una vertical hasta que corte a la semicircunferencia. Ese segmento vertical es el lado del cuadrado que es equivalente al círculo.





Gráficamente tenemos aquí el teorema de Pitágoras. De la misma forma los círculos inscritos en los cuadrados cumplen la misma condición que los cuadrados en el teorema: el área sumada de los dos círculos menores B C es igual al área del círculo mayor A.


Teorema de Pappus.
Dado un triángulo amarillo a, se trata de construir sobre dos de sus lados, dos paralelogramos bc y obtener otro m cuya área sea la suma de los dos anteriores. Dibujamos los paralelogramos, y prolongamos sus lados superiores rs hasta que se corten en un punto T, por éste trazamos una recta que pase además por V, vértice superior del triángulo a.
Por la base del triángulo trazamos en sus extremos JK rectas paralelas a la anterior VT, donde éstas cortan a los lados sr del paralelogramo, obtenemos YL por donde pasa el lado superior m del paralelogramo que queríamos obtener. Unimos sus extremos YL con JK y ya tenemos la figura m.
La figura m es equivalente a la suma de los paralelogramos bc.








Demostración: en el dibujo uno trazamos los paralelogramos y prolongamos sus lados superiores, de esta manera obtenemos en el dibujo número dos otros dos paralelogramos que son equivalentes a los anteriores por tener la misma área: el amarillo es equivalente al de color rosa y el verde es equivalente al de color azul. Por último en el apartado tres obtenemos otros dos paralelogramos en color violeta y marrón que son respectivamente equivalentes a los dos últimos, ya que tienen la misma base y la misma altura. En consecuencia, si sumamos las áreas de los paralelogramos amarillo y verde son exactas a los paralelogramos violeta y marrón, que es lo que se quería demostrar.









Vamos a construir un cuadrado amarillo Y cuya área sea el doble que el área de otro verde X.
Dado el cuadrado de color verde X construimos el cuadrado BFGH transformando el anterior mediante un giro de vértice B.
Si unimos otro cuadrado igual FGQU al cuadrado BFGH tenemos un rectángulo cuya área es el doble del cuadrado y mediante el teorema del cateto un rectángulo equivalente al cuadrado amarillo Y. Este rectángulo tiene el doble de área que el cuadrado anterior por lo tanto el cuadrado amarillo Y equivalente al rectángulo tiene el doble de área que el original X, y esto es lo que se quería encontrar.
El cuadrado verde es equivalente al rectángulo morado según el teorema del cateto, pero éste es equivalente al cuadrado BFGH por ser igual al cuadrado X. El doble del área BFGH es un rectángulo equivalente BHQU a un cuadrado Y que tiene también el doble del área al cuadrado original X. En consecuencia el rectángulo azul BHQU tiene también el doble de área que el rectángulo morado BWPT.
Observamos que al trasladar mediante un giro de centro B los dos segmentos BP y BQ obtenemos las dos diagonales de los dos cuadrados X Y. Pero la diagonal del cuadrado menor BÑ es igual al lado del cuadrado mayor BJ, por tanto para hacer el ejercicio según el dibujo de la derecha, si nos dan el cuadrado amarillo BMNO basta con hacer la diagonal d y con centro en el vértice B hacemos un arco a que corta a ésta en el punto D, obteniendo así el vértice del cuadrado verde ABCD homotético al anterior.





¿Qué porción de área le falta al cuadrado rojo para ser un cuadrado completo? La solución se ve en la figura, como le falta un trozo en ángulo recto, podemos imaginarnos un cuadrado amarillo de igual tamaño sobre el que proyectamos el centro del cuadrado rojo sobre la base para obtener el triángulo amarillo. Como éste es igual al triángulo rojo por tener los lados iguales y el triángulo rojo más el trapecio amarillo forman un cuadrado que es ¼ del cuadrado rojo si estuviera completo, tenemos que al cuadrado rojo le falta ¼ para estar completo.




¿Que porción de área posee el cuadrado interno respecto al externo? La solución se puede obtener mediante un giro como podemos observar en la figura siguiente.









Sí giramos 45º el cuadrado interior observamos que por estar en la circunferencia inscrita en el mayor, sus vértices caen en la mitad de los lados, de ahí que sea un rombo que podemos dividir en 4 partes, iguales a las que quedan para llenar el cuadrado mayor. Por tanto el cuadrado menor tiene la mitad de área que el mayor.








¿Qué área posee la forma superior? La solución en la figura de abajo: su área es la del cuadrado amarillo ya que está formado por dos semicircunferencias más el área del cuadrado menos una circunferencia.









¿Qué relación de proporción hay entre el cuadrado verde y el amarillo? La solución está en el siguiente dibujo.












Las teselas que forman los cuadrados amarillos pueden componer cuatro iguales al verde, por lo que el cuadrado verde es un quinto del cuadrado mayor amarillo.















Dada la ecuación de la parábola  y = x 2  acotada por la recta y=4 , se pide calcular una circunferencia que tenga la mismo área y cuyo centro tenga de coordenadas (6,4).

Para calcular el área hacemos la integral entre los límites 2, -2, -blog de cálculo integral- , que son los puntos de intersección de la recta con la parábola.  Para calcularlos resolvemos el sistema de ambas ecuaciones, la de la curva y la de la recta, (mirar cálculo de puntos de intersección).
El área de la parábola acotada quedará determinada por la integral definida entre 2 y -2 de (2 - 4).  (Segundo miembro de la ecuación de la curva parabólica menos el segundo miembro de la ecuación de la recta vertical que pasa por la ordenada cuatro).
Para calcular la integral simplemente sumamos una unidad al exponente de la variable x y dividimos la expresión por un número igual al exponente calculado. por ejemplo, al aplicar la integral de 2
tenemos que pasa a ser 2+1 / (2 + 1)

A continuación le restamos la integral de la constante cuatro:

 4x 0+1 / (0 + 1), obteniendo 4x, para ello sumamos también 1 unidad al exponente x y dividimos la expresión por un número igual al exponente calculado.

Aplicamos a continuación la integral definida entre  2 y -2 de la diferencia de ambos términos:

/3  - 4x

Para ello tomamos la expresión anterior y sustituimos en x el valor 2 y a continuación le restamos la misma expresión sustituyendo en x el valor -2, obteniendo de esta forma el área de la parábola cuyo valor es 10,6 unidades cuadradas.
Para hacer un círculo con el área equivalente,tenemos que su área debe ser igual a la de la parábola, 10,6, por tanto igualamos este número a pi por el radio al cuadrado, de esta manera obtenemos al despejar el radio su valor, que es 1,8.
La ecuación de la circunferencia será x menos la coordenada en x que es seis, todo ello al cuadrado más la variable y menos la coordenada en y que es cuatro, todo ello al cuadrado, ambos términos sumados deben ser igual al radio al cuadrado 1,8 2, esto es, a 3,35. (Expresión verde del borde superior derecho del dibujo).









En el dibujo observamos una figura denominada lúnula estudiada por Hipócrates que está formada por la diferencia entre un círculo menor menos otro mayor, la diferencia entre ambas figuras determinan una forma geométrica semejante a una luna.
En la figura vemos una posible equivalencia entre esta figura y un cuarto del cuadrado que se inscribe en la circunferencia mayor. La figura naranja y la figura azul tienen la misma área.







En el dibujo observamos otra equivalencia entre las figuras B y C, ambas tienen la misma área ya que la lúnula en color amarillo está formada por el triángulo equilátero más la superficie rosa más la superficie verde menos la superficie violeta. La superficie comprendida entre un arco y una cuerda de circunferencia se llama segmento circular, por tanto la lúnula está formada por el triángulo equilátero +2 segmentos circulares -1 esto es el triángulo equilátero +1 segmento circular, o sea la lúnula es igual a la figura naranja de la derecha. Por tanto la figura amarilla B y naranja C son equivalentes.






Dado un cuadrilátero ABCD, se trata de dividirlo en dos partes equivalentes o con la misma área. Se construye una línea entre los puntos CB y a continuación se hace una recta paralela a ésta por D, hasta que corta a la prolongación del lado AB en el punto E.
Ahora tenemos que el triángulo ACF es equivalente al triángulo FEC, por tener igual longitud en su base y la misma altura. Pero el triángulo CFE también es equivalente al cuadrilátero CDFB, ya que contiene un triángulo común CFB y el triángulo CDB tiene la misma área que triángulo CEB, por tener la misma base CB y altura. En consecuencia la recta CF divide al cuadrilátero en dos partes con la misma área, la amarilla y la azul.

2 áreas equivalentes - GeoGebra Hoja Dinámica
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2 áreas equivalentes






















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1- Se trata de construir un paralelogramo que sea equivalente al trapezoide ABCD de la figura uno.
2-Mediante el procedimiento usual, trazamos una recta m paralela al segmento DA por C y por B hacemos una recta BE paralela a la recta CA obteniendo en la intersección de ambas el punto E. Mediante este primer paso hemos obtenido un triángulo ACE equivalente al triángulo ACB, ya que tienen la misma base AC y la misma altura.
Si unimos mediante un segmento los puntos AE y por el punto medio F de este segmento, trazamos una recta GH paralela a la recta DC tenemos ya un paralelogramo DCGH que tiene la misma área que la figura original.
3- Podemos seguir un procedimiento más sencillo si lo realizamos mediante el teorema de Varignon, en el procedimiento número tres tomamos los puntos medios H I J K de cada uno de los lados del cuadrilátero, al unirlos, tenemos un paralelogramo cuya área es la mitad del trapezoide dado ABCD. Lo duplicamos (lo volvemos a dibujar apoyado sobre uno de sus lados JI) y ya tenemos un paralelogramo KHLO con la misma área que la figura dada.




El volumen de un cubo más el volumen de otro cubo nunca es igual a otro cubo que tiene por volumen la suma de los dos anteriores, por lo menos para números enteros y distintos de cero. Eso es lo que demuestra el teorema de Fermat, siempre y cuando los números de los que estemos hablando estén elevados a un número mayor de dos, sean enteros y distintos de cero.
Como podemos ver en el dibujo, en el cuadrado sí se verifica que el cuadrado de un número más el cuadrado de otro es igual a un cuadrado que tiene por área la suma de los otros dos.






En la figura de la izquierda tenemos un triángulo violeta, dos trapecios en color naranja y azul y un rectángulo amarillo. La disposición de los mismos genera como contorno un cuadrado formado por cuadrados más pequeños, de lado 7 × 7 centímetros, esto es un cuadrado de 49 centímetros cuadrados.
Obsérvese en la figura de la derecha que si desplazamos el trapecio naranja hasta la parte superior derecha del triángulo y bajamos el trapecio azul hasta la parte inferior del triángulo, obtenemos una nueva disposición en la que en la franja superior cabe el rectángulo amarillo y un nuevo cuadrado verde en el medio de la figura. Aunque el área de la figura sigue siendo de 49 cm², parece ser que la figura de la derecha es algo más grande por tener una figura más, el cuadrado verde.
El sagaz lector –si es que hay alguien ahí- se habrá dado cuenta de que la solución al problema radica en que las figuras no son exactamente iguales.



En la figura podemos observar la solución al ejercicio anterior. En la figura de la izquierda vemos el trapecio naranja que tiene seis unidades o lados del cubo a la izquierda, al pasarlo a la parte superior del triángulo violeta, como aparece en la figura de la derecha, le ampliamos mediante una línea paralela a la hipotenusa del triángulo para obtener su dimensión real hasta que ocupe las seis unidades de la figura de la izquierda. Con el trapecio azul hacemos lo mismo, tomamos las cinco unidades exactas del lado derecho, correspondientes a los lados de los cubos y lo colocamos en la parte de abajo sobre el triángulo violeta de la figura de la derecha.
Podemos comprobar que hay que ampliarle una franja cuyo borde inferior coincide con el borde inferior de la franja ampliada al trapecio naranja. Los dos trozos que le aumentamos a los dos trapecios, tal y como aparecen en la figura de la derecha suponen un desplazamiento del triángulo violeta o ampliación del mismo (ya que todas las figuras deben permanecer invariables), tomamos la longitud vertical de ese romboide o ampliación (romboide naranja más romboide azul más rojo) y la colocamos por debajo del triángulo obteniendo una franja en forma de rectángulo (formado por el trapecio rosa y el triángulo rojo). En consecuencia esta última figura formada por el trapecio rosa y el triángulo rojo tiene obviamente la misma área que el cuadrado verde.















En la figura superior podemos observar un rectángulo dado A en color azul. Se pide transformarlo en un romboide R que tenga de lado la longitud n. Se coloca esta longitud a partir del vértice C del rectángulo y se hace centro en este punto haciendo el arco g hasta que corta a la altura del rectángulo. La intersección del arco con t (la línea horizontal que pasa por el lado superior del rectángulo) determina el lado del romboide. Para obtener el otro lado del romboide basta con hacer por el otro extremo de la base del rectángulo una línea paralela a la anterior hasta que corta la recta t. Si trasladamos la base en la dirección que acabamos de obtener obtenemos también el romboide. Todos los romboides que tengan la misma base desplazada en cualquier dirección hasta que corten a la línea t tienen la misma área, ya que al igual que el rectángulo el área del romboide es base por altura. Esto se puede comprobar en el ejercicio inferior en el que se transforma el romboide en un rectángulo al desplazar un fragmento triangular J del mismo y se coloca en su parte superior.
En la segunda figura inferior podemos observar que si al romboide le quitamos el triángulo y se lo sumamos al rectángulo en la parte superior tenemos un nuevo rectángulo que tiene por base la longitud dada n. De esta forma podemos obtener un rectángulo equivalente a otro teniendo como dato el lado del nuevo rectángulo.




Teniendo en cuenta el ejercicio anterior en el que un cuadrado o rectángulo se transforma en romboide al desplazar la base del mismo podemos construir un cuadrado cuya área sea igual a la suma de otros dos dados, que no es otra cosa que el teorema de Pitágoras. En la figura de la derecha tenemos dos cuadrados dados A B que se transforman en romboides A’ B’ con la misma área (base por altura del primero b . h y del segundo b’. h’, son idénticas las áreas en los cuadrados y romboides).
En la figura de la izquierda, transformamos los cuadrados en romboides como hicimos en el ejercicio anterior y a continuación restamos los fragmentos en color rojo y azul oscuro S P, respectivamente. Estos dos triángulos los sumamos a la parte superior S’ P’ y obtenemos un nuevo cuadrado que es idéntico al que aparece también por encima de este en color verde y magenta. Se verifica que son idénticos los 2, pues mediante un arco hemos pasado las alturas de los romboides y verificamos que el cuadrado (formado por los trapecios azul claro y amarillo más el triángulo rojo y azul oscuro) es exacto al cuadrado mayor del teorema de Pitágoras (formado por los dos rectángulos verde y magenta).





¿Qué porción de área ocupa la figura roja? La solución la tenemos en el siguiente cuadro, si dividimos en triángulos observamos que éstos tienen la misma base y altura que los demás adyacentes por lo que son equivalentes a ¼ de cada cuadrado interior. La figura roja es por tanto ¼ del cuadrado azul en la que está inscrita.


















¿Qué ángulo cubren los sectores circulares rojos? Como los ángulos de un triángulo suman 180º, los de un cuadrilátero sumarán el doble, por lo que el ángulo que forman los sectores es de 360º, esto es, una circunferencia completa.









Dado el triángulo ABC, determinar dos triángulos equiláteros cuya diferencia de área sea igual a ABC.
1- Hacemos 3 triángulos equiláteros apoyados en los lados del triángulo dado ABC por la parte interior del triángulo. Unimos los puntos medios de esos tres triángulos y obtenemos un nuevo triángulo equilátero (en azul).
2- Hacemos 3 triángulos equiláteros apoyados en los lados del triángulo dado ABC por la parte exterior del triángulo. Unimos los puntos medios de esos tres triángulos y obtenemos un nuevo triángulo equilátero (en azul).
La diferencia de área de los dos triángulos azules es el dado ABC, según el teorema de Napoleón.





En el teorema de Pitágoras tenemos dos triángulos equivalentes ABC y BDE, cuyas áreas son iguales ya que ambos tienen la misma base BC , BD y la misma altura, que es el radio de la circunferencia, BT o BC, respectivamente. Pero como los triángulos que tienen la misma base y la misma altura son equivalentes también tenemos el triángulo BDE es equivalente al triángulo BDC y el triángulo ABC es equivalente al triángulo ABP, ya que estos dos tienen la misma base AB y la misma altura BP. Si los triángulos ABP y BDC son equivalentes, al duplicar el área de ambos tenemos que el cuadrado BDJC y el rectángulo ABNP también son equivalentes, y esto es una demostración euclidiana del teorema del cateto. Haciendo lo mismo con el otro cuadrado ECLU obtenemos su rectángulo equivalente VENP. De esta forma queda demostrado el teorema de Pitágoras de forma euclidiana y la equivalencia de áreas entre el cuadrado mayor ABVE y la suma de los dos menores BDJC y ECLU.





Según el ejercicio anterior quedaba demostrada la equivalencia entre los dos triángulos ABC y BDE. Tenemos también demostrado en el ejercicio anterior que el cuadrado de BC dividido entre dos es igual al rectángulo AB por BF dividido entre dos, con lo que el cuadrado de lado BC es equivalente al rectángulo AB por BF. De igual forma el cuadrado de lado CE es equivalente al rectángulo de lado AB por FE. En consecuencia la suma de las áreas de los rectángulos (que es el cuadrado mayor de la figura) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados medio y menor. De esta forma queda demostrado el teorema de Pitágoras mediante un procedimiento euclidiano.






Se trata de demostrar (figura de la derecha) que el área del cuadrado A es igual a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados B C, que no es otra cosa que el teorema de Pitágoras. El procedimiento que vamos a seguir es mediante el corte de trozos de las figuras y desplazamiento de los mismos. En la figura de la izquierda, al cuadrado PS formado por los trozos verde y amarillo, se le quita el trozo amarillo S y se desplaza en dirección horizontal obteniendo de esta forma S’. De esta manera tenemos que P+S’=P+S, el área sigue siendo la misma.
Hacemos lo mismo con el otro cuadrado FQ formado por los fragmentos morado y azul, desplazamos el fragmento azul Q y le quitamos el trozo rojo T y lo trasladamos a la parte superior obteniendo T’, tenemos por tanto que Q+F= Q’+F+T’, ambos elementos son equivalentes. Desplazamos hacia abajo ambas figuras obtenidas hasta que los vértices inferiores toquen a los vértices del cuadrado inferior, teniendo que P+S’ se transforma en R’+H y que Q’+F+T’ se transforma en I’+J.
Desplazamos a la parte inferior los dos triángulos R’ I’ y los sumamos a los dos trapecios H J, obteniendo el cuadrado mayor de la figura: J + H + R + I, de esta forma hemos visto que sumando las áreas de los dos cuadrados menores B C obtenemos un cuadrado mayor A con el mismo área, que era lo que se quería demostrar.

Construir un triángulo equilátero equivalente a un cuadrado de lado dos unidades.
Vamos a resolver este ejercicio aplicando el teorema del cateto.

Dado el cuadrado ABCD, se trata de construir un triángulo equilátero ASQ que tenga el mismo área que él. Es muy fácil partiendo de un triángulo equilátero cualquiera construir un cuadrado equivalente, para hacer el proceso inverso podemos seguir el mismo procedimiento y luego transformar por proporcionalidad el cuadrado dado en el triángulo semejante al construido.
Dado el cuadrado amarillo ABCD, utilizamos uno de sus lados AD para construir un triángulo equilátero (en color verde). Dibujamos su altura FE y mediatriz GH de la altura, esta mediatriz corta al segmento AB en el punto G. 
Tomamos la medida AD y haciendo centro en el punto A hacemos un arco hasta que corta a la prolongación de AB en el punto I. 
Construimos una semicircunferencia que corta a la mediatriz GH en el punto J. La longitud AJ es el lado del cuadrado azul equivalente al triángulo equilátero verde que hemos escogido. 
Girando el lado del triángulo AE hasta hacerlo coincidir con la base o lado del cuadrado azul AJ, tenemos ya ambas figuras dispuestas con dos lados y un vértice coincidentes. A continuación unimos el vértice del cuadrado L con el vértice del triángulo N, de esta manera tenemos la dirección que transforma ambos vértices, utilizando esta misma dirección por el cuadrado girado APOM, a partir del punto P y en la prolongación de AN tenemos el nuevo vértice Q del triángulo que es semejante al anterior (de igual forma pero de distinto tamaño), este triángulo es equivalente al cuadrado dado, ya que es proporcional junto con el cuadrado al otro cuadrado azul y verde aceituna dibujados anteriormente.

En la figura inferior podemos ver paso por paso la construcción mediante el programa Java

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Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com