Se trata de construir una figura que es un número de veces mayor que otra dada. Por ejemplo, en la figura de la izquierda tenemos un cuadrado amarillo a del que se pide construir otro b (en color naranja) que sea dos veces mayor.
Para dibujarlo hacemos otro cuadrado (en color azul) y lo colocamos encima del cuadrado amarillo dado, con lo que tenemos un rectángulo. Por el teorema del cateto podemos transformar éste rectángulo en un cuadrado equivalente (con la misma área).
En la figura de la derecha tenemos como dato un cuadrado amarillo c del que se pide construir uno que tenga un área tres veces mayor. Como hicimos en el dibujo anterior, hacemos un rectángulo con el número de cuadrados que van a ser equivalentes al cuadrado mayor, en este caso como el nuevo cuadrado que vamos a calcular es tres veces mayor, tendremos que tener un rectángulo formado por tres cuadrados. Por el teorema del cateto transformamos este rectángulo formado por los tres cuadrados pequeños en el cuadrado de color naranja que tiene un área tres veces mayor que el cuadrado amarillo dado c.
Se trata de construir un cuadrado que es la mitad de otro.
En la figura la izquierda observamos un cuadrado verde claro del que hay
que construir otro que tenga la mitad de área, tomamos el lado de la base AB y
hacemos un arco con este radio hasta que corte a la diagonal AC, en el punto de
corte E obtenemos un punto que unido al extremo del lado A es la nueva diagonal del
cuadrado cuya área vale la mitad del original -cuadrado verde oscuro.
Fundamento: tenemos el cuadrado gris mayor,-a la derecha-, y
construimos cuatro cuadrados que tengan la misma área, para ello hacemos por el
centro dos rectas paralelas a sus lados obteniendo así la división en cuatro
cuadrados iguales, estos cuadrados iguales en color amarillo y rojo los ponemos
alineados tal como se ve en la figura.
En la esquina D1 del cuadrado amarillo superior
hacemos un arco marrón hasta que corte a la prolongación del lado en Z, a continuación
hacemos una semi circunferencia naranja de centro N1 y y radio N1-Z. Al prolongar los lados de los
cuatro cuadrados VO obtenemos en la intersección con la semicircunferencia J, el lado del cuadrado dado lo colocamos en la posición del cuadrado gris .
Para hallar un triángulo equivalente a un rectángulo y romboide, hacemos por ejemplo una línea que incida en su vértice A y punto medio de la base B.
Por el punto medio de AB hacemos una paralela h a la base CD. Por D y C hacemos rectas paralelas m y n a AB. La intersección de h con m y n nos determina QR.
CDQR es el romboide equivalente al triángulo ACD.
En la figura de la derecha el triángulo azul (construido con una vertical por D) se puede desplazar hasta C, transformando el romboide original en un rectángulo (en verde).
El teorema de las cuerdasSegún la potencia del punto O respecto a una circunferencia se tiene que el producto a.b=c.d es siempre constante, independientemente de la posición de las secantes:
om.om'=of.of´=K. Por tanto om es a of como of' es a om´, esto es, son proporcionales, de lo que se deduce que siendo las secantes proporcionales entre sí, los rectángulos son siempre equivalentes.
Demostración: http://tangencias-potencia.blogspot.com/
Con el teorema de Ptolomeo podemos construir rectángulos equivalentes:
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com/2012/03/teorema-de-ptolomeo.html
El teorema de Pitágoras gráficamente: La hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, esto es, el área del cuadrado mayor es igual (o equivalente) a la suma de los otros dos. De igual forma el área del cuadrado mayor menos el de otro cuadrado menor es igual al otro cuadrado, etc.
En el caso número uno, si al cuadrado ABCD le restamos cuatro triángulos (en el dibujo en color violeta) tenemos dos cuadrados que en el dibujo aparecen en color azul y rojo.
En el caso número dos, si el mismo cuadrado le restamos los mismos triángulos violetas pero según esta otra disposición, tenemos otro cuadrado que en el dibujo aparece en color amarillo.
En los dos casos como hemos restado únicamente cuatro triángulos violetas al mismo cuadrado hemos obtenido primero dos cuadrados azul y rojo y luego otro cuadrado amarillo, con lo que tenemos que los dos primeros cuadrados y el segundo son equivalentes.
En el caso número tres observamos gráficamente la representación del teorema de Pitágoras que dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, o lo que es lo mismo, que el área del cuadrado azul más el área del cuadrado rojo es igual al área del cuadrado amarillo. En el dibujo verificamos que es cierto, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los catetos, dejando ver en el centro de los tres triángulos el triángulo rectángulo en color blanco.
El triángulo (amarillo más verde) es equivalente a un rectángulo (azul más verde) y a un cuadrado (en violeta). El cuadrado lo es al rectángulo por el teorema del cateto y éste al triángulo por 2 simetrías centrales de cada uno de los triángulos azul y amarillo: cada triángulo azul se transforma en otro amarillo tomando como centro de simetría un vértice del triángulo.
El teorema de Pitágoras por Dudeney
Si hacemos dos rectas perpendiculares que pasen por el centro del cuadrado amarillo y las cuatro partes en que lo dividen las disponemos como en el cuadrado azul, el cuadrado interno que queda en violeta es tal que sumada su área al área del amarillo es igual al área del azul más violeta..
Un rectángulo es equivalente al triángulo por ser los triángulos rojos iguales a los amarillos.
Según el teorema de Varignon, si en un cuadrilátero cogemos los puntos medios de sus lados obtenemos un paralelogramo de la mitad de área que el cuadrilátero. Si lo duplicamos tenemos una figura equivalente.
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com/2012/03/teorema-de-ptolomeo.html
El teorema de Pitágoras gráficamente: La hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, esto es, el área del cuadrado mayor es igual (o equivalente) a la suma de los otros dos. De igual forma el área del cuadrado mayor menos el de otro cuadrado menor es igual al otro cuadrado, etc.
En el caso número uno, si al cuadrado ABCD le restamos cuatro triángulos (en el dibujo en color violeta) tenemos dos cuadrados que en el dibujo aparecen en color azul y rojo.
En el caso número dos, si el mismo cuadrado le restamos los mismos triángulos violetas pero según esta otra disposición, tenemos otro cuadrado que en el dibujo aparece en color amarillo.
En los dos casos como hemos restado únicamente cuatro triángulos violetas al mismo cuadrado hemos obtenido primero dos cuadrados azul y rojo y luego otro cuadrado amarillo, con lo que tenemos que los dos primeros cuadrados y el segundo son equivalentes.
En el caso número tres observamos gráficamente la representación del teorema de Pitágoras que dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, o lo que es lo mismo, que el área del cuadrado azul más el área del cuadrado rojo es igual al área del cuadrado amarillo. En el dibujo verificamos que es cierto, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los catetos, dejando ver en el centro de los tres triángulos el triángulo rectángulo en color blanco.
Según el teorema del cateto el cuadrado violeta tiene la misma área que el rectángulo azul, y como éste tiene la misma que el triángulo amarillo pues los trozos que quedan en amarillo son como los que quedan en azul del rectángulo, tenemos que el cuadrado y el triángulo tienen la misma área.
El triángulo (amarillo más verde) es equivalente a un rectángulo (azul más verde) y a un cuadrado (en violeta). El cuadrado lo es al rectángulo por el teorema del cateto y éste al triángulo por 2 simetrías centrales de cada uno de los triángulos azul y amarillo: cada triángulo azul se transforma en otro amarillo tomando como centro de simetría un vértice del triángulo.
El teorema de Pitágoras por Dudeney
Si hacemos dos rectas perpendiculares que pasen por el centro del cuadrado amarillo y las cuatro partes en que lo dividen las disponemos como en el cuadrado azul, el cuadrado interno que queda en violeta es tal que sumada su área al área del amarillo es igual al área del azul más violeta..
Un rectángulo es equivalente al triángulo por ser los triángulos rojos iguales a los amarillos.
Según el teorema de Varignon, si en un cuadrilátero cogemos los puntos medios de sus lados obtenemos un paralelogramo de la mitad de área que el cuadrilátero. Si lo duplicamos tenemos una figura equivalente.
No hay comentarios:
Publicar un comentario