Teorema de Pappus.
Dado un triángulo amarillo a, se trata de construir sobre dos de sus lados, dos paralelogramos bc y obtener otro m cuya área sea la suma de los dos anteriores. Dibujamos los paralelogramos, y prolongamos sus lados superiores rs hasta que se corten en un punto T, por éste trazamos una recta que pase además por V, vértice superior del triángulo a.
Por la base del triángulo trazamos en sus extremos JK rectas paralelas a la anterior VT, donde éstas cortan a los lados sr del paralelogramo, obtenemos YL por donde pasa el lado superior m del paralelogramo que queríamos obtener. Unimos sus extremos YL con JK y ya tenemos la figura m.
La figura m es equivalente a la suma de los paralelogramos bc.
Demostración: en el dibujo uno trazamos los paralelogramos y prolongamos sus lados superiores, de esta manera obtenemos en el dibujo número dos otros dos paralelogramos que son equivalentes a los anteriores por tener la misma área: el amarillo es equivalente al de color rosa y el verde es equivalente al de color azul. Por último en el apartado tres obtenemos otros dos paralelogramos en color violeta y marrón que son respectivamente equivalentes a los dos últimos, ya que tienen la misma base y la misma altura. En consecuencia, si sumamos las áreas de los paralelogramos amarillo y verde son exactas a los paralelogramos violeta y marrón, que es lo que se quería demostrar.
Vamos a construir un cuadrado amarillo Y cuya área sea el doble que el área de otro verde X.
Dado el cuadrado de color verde X construimos el cuadrado BFGH transformando el anterior mediante un giro de vértice B.
Si unimos otro cuadrado igual FGQU al cuadrado BFGH tenemos un rectángulo cuya área es el doble del cuadrado y mediante el teorema del cateto un rectángulo equivalente al cuadrado amarillo Y. Este rectángulo tiene el doble de área que el cuadrado anterior por lo tanto el cuadrado amarillo Y equivalente al rectángulo tiene el doble de área que el original X, y esto es lo que se quería encontrar.
El cuadrado verde es equivalente al rectángulo morado según el teorema del cateto, pero éste es equivalente al cuadrado BFGH por ser igual al cuadrado X. El doble del área BFGH es un rectángulo equivalente BHQU a un cuadrado Y que tiene también el doble del área al cuadrado original X. En consecuencia el rectángulo azul BHQU tiene también el doble de área que el rectángulo morado BWPT.
Observamos que al trasladar mediante un giro de centro B los dos segmentos BP y BQ obtenemos las dos diagonales de los dos cuadrados X Y. Pero la diagonal del cuadrado menor BÑ es igual al lado del cuadrado mayor BJ, por tanto para hacer el ejercicio según el dibujo de la derecha, si nos dan el cuadrado amarillo BMNO basta con hacer la diagonal d y con centro en el vértice B hacemos un arco a que corta a ésta en el punto D, obteniendo así el vértice del cuadrado verde ABCD homotético al anterior.
¿Qué porción de área le falta al cuadrado rojo para ser un cuadrado completo? La solución se ve en la figura, como le falta un trozo en ángulo recto, podemos imaginarnos un cuadrado amarillo de igual tamaño sobre el que proyectamos el centro del cuadrado rojo sobre la base para obtener el triángulo amarillo. Como éste es igual al triángulo rojo por tener los lados iguales y el triángulo rojo más el trapecio amarillo forman un cuadrado que es ¼ del cuadrado rojo si estuviera completo, tenemos que al cuadrado rojo le falta ¼ para estar completo.
¿Que porción de área posee el cuadrado interno respecto al externo? La solución se puede obtener mediante un giro como podemos observar en la figura siguiente.
Sí giramos 45º el cuadrado interior observamos que por estar en la circunferencia inscrita en el mayor, sus vértices caen en la mitad de los lados, de ahí que sea un rombo que podemos dividir en 4 partes, iguales a las que quedan para llenar el cuadrado mayor. Por tanto el cuadrado menor tiene la mitad de área que el mayor.
¿Qué área posee la forma superior? La solución en la figura de abajo: su área es la del cuadrado amarillo ya que está formado por dos semicircunferencias más el área del cuadrado menos una circunferencia.
¿Qué relación de proporción hay entre el cuadrado verde y el amarillo? La solución está en el siguiente dibujo.
Las teselas que forman los cuadrados amarillos pueden componer cuatro iguales al verde, por lo que el cuadrado verde es un quinto del cuadrado mayor amarillo.
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En la figura 1 vemos una cruz dividida en cinco colores que forman un puzzle y con los que se pueden componer varias figuras geométricas como el rectángulo, cuadrado, triángulo y romboide.
En la figura 2 vemos una cruz cortada en cuatro fragmentos que genera un cuadrado, o un rectángulo, según vemos a la derecha.
En la figura 3 vemos cómo una cruz roja a la que se le quitan cuatro esquinas se puede convertir en un cuadrado amarillo.
En la figura número 4 observamos otra cruz con un corte oblicuo con el que tenemos dos fragmentos que si se los sumamos a los de otra cruz del mismo tamaño tendremos cuatro fragmentos que definen un cuadrado según vemos a la derecha.
En la figura 5 observamos cómo una cruz amarilla a la que se le cortan trozos, como una esvástica central, más una cruz azul menor, pueden componer entre ambas el cuadrado de la derecha formado por la Cruz Azul y los fragmentos amarillos.
En el número 6 podemos observar cómo 2 cruces con 4 fragmentos de cada una, se puede componer una cruz mayor, según vemos a la derecha. La cruz de color verde tiene por área la suma de las dos cruces.
En los últimos tres ejercicios, 4,5 y 6, observamos en el primer caso dos cruces iguales cuya sumas de áreas es igual a un cuadrado; en el segundo caso una cruz mayor y otra menor también pueden generar un cuadrado de igual área y por último dos cruces de igual tamaño tenemos como figura equivalente o del mismo área, la cruz de color verde
tenemos que pasa a ser x 2+1 / (2 + 1)
A continuación le restamos la integral de la constante cuatro:
4x 0+1 / (0 + 1), obteniendo 4x, para ello sumamos también 1 unidad al exponente x y dividimos la expresión por un número igual al exponente calculado.
Aplicamos a continuación la integral definida entre 2 y -2 de la diferencia de ambos términos:
x 3 /3 - 4x
Para ello tomamos la expresión anterior y sustituimos en x el valor 2 y a continuación le restamos la misma expresión sustituyendo en x el valor -2, obteniendo de esta forma el área de la parábola cuyo valor es 10,6 unidades cuadradas.
Para hacer un círculo con el área equivalente,tenemos que su área debe ser igual a la de la parábola, 10,6, por tanto igualamos este número a pi por el radio al cuadrado, de esta manera obtenemos al despejar el radio su valor, que es 1,8.
La ecuación de la circunferencia será x menos la coordenada en x que es seis, todo ello al cuadrado más la variable y menos la coordenada en y que es cuatro, todo ello al cuadrado, ambos términos sumados deben ser igual al radio al cuadrado 1,8 2, esto es, a 3,35. (Expresión verde del borde superior derecho del dibujo).
Dada la ecuación de la parábola y = x 2 acotada por la recta y=4 , se pide calcular una circunferencia que tenga la mismo área y cuyo centro tenga de coordenadas (6,4).
Para calcular el área hacemos la integral entre los límites 2, -2, -blog de cálculo integral- , que son los puntos de intersección de la recta con la parábola. Para calcularlos resolvemos el sistema de ambas ecuaciones, la de la curva y la de la recta, (mirar cálculo de puntos de intersección).
El área de la parábola acotada quedará determinada por la integral definida entre 2 y -2 de (x 2 - 4). (Segundo miembro de la ecuación de la curva parabólica menos el segundo miembro de la ecuación de la recta vertical que pasa por la ordenada cuatro).
Para calcular la integral simplemente sumamos una unidad al exponente de la variable x y dividimos la expresión por un número igual al exponente calculado. por ejemplo, al aplicar la integral de x 2
A continuación le restamos la integral de la constante cuatro:
4x 0+1 / (0 + 1), obteniendo 4x, para ello sumamos también 1 unidad al exponente x y dividimos la expresión por un número igual al exponente calculado.
Aplicamos a continuación la integral definida entre 2 y -2 de la diferencia de ambos términos:
x 3 /3 - 4x
Para ello tomamos la expresión anterior y sustituimos en x el valor 2 y a continuación le restamos la misma expresión sustituyendo en x el valor -2, obteniendo de esta forma el área de la parábola cuyo valor es 10,6 unidades cuadradas.
Para hacer un círculo con el área equivalente,tenemos que su área debe ser igual a la de la parábola, 10,6, por tanto igualamos este número a pi por el radio al cuadrado, de esta manera obtenemos al despejar el radio su valor, que es 1,8.
La ecuación de la circunferencia será x menos la coordenada en x que es seis, todo ello al cuadrado más la variable y menos la coordenada en y que es cuatro, todo ello al cuadrado, ambos términos sumados deben ser igual al radio al cuadrado 1,8 2, esto es, a 3,35. (Expresión verde del borde superior derecho del dibujo).
Se trata de calcular triángulo equivalente a una elipse
- Tenemos en la elipse que el tamaño del semieje mayor, llamado a, vale 1
- El tamaño del semieje menor llamado B vale 0,5
- En el triángulo nos dicen que tiene como base la unidad
Como el área de la elipse debe ser igual al área del cuadrado tenemos que
Pi. a. b= base . altura / 2
Pi. 1. 0,5 = 1. altura /2
Pi. 0,5 = altura /2
Pi. 2. 0,5 = altura
Pi. = altura
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