jueves, 14 de octubre de 2010

Figuras equivalentes: las que tiene el mismo área, siendo distintas



En la figura tenemos 12 cuadrados divididos en cuatro partes iguales. Como las cuatro partes de los cuadrados son iguales de área, tenemos que las figuras interiores son equivalentes, de esta forma todas las figuras azules son iguales entre sí, las rojas también, así como las amarillas y las verdes. Y como cada una de estas es un cuarto del cuadrado, se tiene también que las azules son iguales a las rojas, a las amarillas y a las verdes, en definitiva que todas son iguales de área o equivalentes.
En el cuadrado uno a lo dividimos con dos segmentos ortogonales que pasan por el centro y no hay duda de que los cuatro cuadrados internos son iguales. Si giramos estos dos segmentos con un ángulo cualquiera estando el centro en el del cuadrado, tendremos un caso particular como el de C4, en que las partes siempre saldrán iguales. Un caso particular de éste es el A2. En el A3 tenemos que los cuatro triángulos tienen la misma base y la misma altura, al igual que en el A4. Combinado con este último y el A1, tenemos el B1. En el B2 tomamos la mitad de la figura roja, que tiene por base un cuarto del cuadrado y por altura otro cuarto, con lo que la figura es la mitad, sumando otro trozo igual tenemos la figura completa que es por tanto un cuarto del cuadrado. Lo mismo sucede con la siguiente, la B3. La B4 tiene a figuras con la misma base y la misma altura al igual que la c2. En la C1 tenemos la mitad del caso anterior y la otra mitad dividida entre dos, mientras que en la C3 tenemos la mitad dividida en dos partes y la otra mitad dividida en un rombo azul que se puede fragmentar en los cuatro triángulos amarillos.

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Triángulos equivalentes: si tienen la misma base, han de tener la misma altura para que sus áreas sean iguales. Por tanto basta con hacer una horizontal (paralela a la base) y por cualquier punto de esta recta colocar el vértice del nuevo triángulo.








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http://curvas-planas.blogspot.com.es/2010/10/cicloide.html

La curva plana que describe un punto fijo situado en una circunferencia, de manera que  gira sobre una recta sin resbalar describe una curva como con la que vemos en el dibujo, llamada cicloide.
Curiosamente la zona azul tiene la misma área que la circunferencia que gira y también tiene la misma área que la zona verde. Esto quiere decir que la área bajo la curva hasta la recta por donde se desplaza la circunferencia es tres veces la circunferencia desplazada.(La zona azul, más amarilla, más la verde es tres veces la circunferencia amarilla).



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En la parte superior vemos cómo transformar un cuadrado en un triángulo. 
Cogemos los puntos medios del cuadrado y los unimos generando el triángulo amarillo en la parte superior, cogemos el centro de la base de ese triángulo y lo unimos con los puntos medios de los lados del cuadrado en su parte inferior, obteniendo el trapezoide de color rojo. Al terminar estas dos figuras nos quedan otros dos trapezoides, azul y verde, que al girarlos quedan los vemos en la figura del medio, esto es, al girarlos 180°. 
Desplazando el triángulo amarillo a la parte inferior del trapezoide rojo obtenemos ya el triángulo equivalente al cuadrado original dado en la parte superior izquierda del dibujo.


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Otra forma de hacerlo es como las tres figuras de la parte inferior: dividimos el cuadrado en dos rectángulos azul y amarillo, los colocamos una continuación del otro como en la figura inferior del medio, cogemos los extremos de las bases y hacemos 2 rectas hasta lo que sería el centro del cuadrado superior del rectángulo azul original, obteniendo los triángulos rojos y verdes que como vemos tienen la misma área, de esta forma podemos construir el triángulo que aparece a la derecha en el borde inferior, lógicamente es una forma más sencilla que la anterior de construir un triángulo equivalente a un cuadrado, un triángulo que tiene el mismo área que el cuadrado.

Se trata de construir con esta figura dada por su contorno otras compuestas con figuras iguales en su contorno. Una solución es dividir la figura en formas geométricas más simples, como por ejemplo estos triángulos equiláteros.

Podemos observar una vez que lo tenemos coloreado que los triángulos equiláteros que tienen distintos colores, amarillo, azul, etc., construyen una figura equivalente a la anterior, que quiere decir que tiene la misma forma que la anterior, aunque de distinto tamaño, podemos ver que también por la disposición de los triángulos encajan unas en otras de manera que podemos construir una retícula con figuras como la dada. En este caso la figura que hemos obtenido tiene 1 área cuatro veces mayor que la anterior, podríamos seguir construyendo figuras con 1 área mayor.


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En la parte derecha vemos como un cuadrado se puede transformar en una cruz, simplemente quitándole los triángulos amarillos y girándolos 180°, de esta forma obtenemos la Cruz.
En el centro podemos observar otra forma de construir un cuadrado equivalente a la Cruz, observamos la división interior y podemos ver en la Cruz que los puntos por donde pasan las dos líneas ortogonales son los centros de los lados de los brazos de la cruz. Los colocamos tal y como aparecen en el dibujo.
En la parte izquierda podemos observar esta misma Cruz y vemos que al coger sus piezas y desplazarlas obtenemos otro cuadrado pero con 1 área doble de la Cruz ya que las cuatro piezas se transforman en ocho.


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El pentagrama 1 tiene la franja amarilla equivalente a la suma de las 2 azules, por tanto en la 2 la amarilla tiene la misma área que la azul.
En la 3 se verifica: la azul es igual a la naranja y la rosa a la violeta, por tanto la suma de verde y rosa es de igual área que la suma de naranja y violeta.

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En la figura tenemos un objeto que simula ser una pizza, se trata de repartirla en 12 trozos iguales de manera que a la mitad de ellos se le adjudica la parte central mientras que a la otra mitad la parte externa correspondiente a la circunferencia, podemos pensar un caso práctico en el caso de que a la mitad que le guste más el pan por eso coge el entorno de la circunferencia mientras que a los del centro les gusta más los otros ingredientes que se acumulan en la parte central.
Hacemos la circunferencia y como si fuéramos a dibujar un hexágono regular obtenemos los seis puntos de los centros de las circunferencias que rodean a la circunferencia azul. Como podemos ver en la intersección de las circunferencias salen formas lenticulares a las que añadimos la perpendicular trazada a la recta adyacente desde cada uno de los puntos de la circunferencia, de esta manera obtenemos fragmentos en color amarillo, verde y azul, todos iguales. La clave está en que todos esos elementos forman parte de una matriz polar o simetría radial de manera que las formas tienen la misma curvatura que la curvatura de la circunferencia azul. También las formas verdes son simétricas de las azules, y como las verdes son iguales que las amarillas, todos son iguales.
De esta forma hemos obtenido un reparto equitativo en 12 partes de manera que los que disfrutan de las zonas azules pueden disfrutar de la parte periférica o del contorno mientras que los demás de la zona central.



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