jueves, 14 de octubre de 2010



Dado un hexágono H en el dibujo uno, se trata de construir un cuadrado equivalente. Construimos un trapecio equivalente T, en el dibujo dos en color azul. A continuación lo transformamos en un triángulo R equivalente al trapecio conforme al número tres, en el dibujo en color rojo. A continuación transformamos el triángulo R en un rectángulo rosa E según el dibujo cuatro. Por último, conforme al teorema del cateto transformamos el rectángulo de color rosa E en un cuadrado de color verde C. En el dibujo seis el hexágono H y el cuadrado C son equivalentes.
Como hemos ido transformando unas figuras en otras manteniendo siempre invariables sus áreas, podemos comprobar en el dibujo cinco que todas las figuras son equivalentes: el hexágono, el trapecio, el triángulo, el rectángulo y el cuadrado.

http://poligonos-regulares.blogspot.com.es/

http://poligonos-regulares-dinamicos.blogspot.com.es/





Se trata de hacer un triángulo equivalente a un círculo. Se podría transformar el círculo en un cuadrado y este en un rectángulo por el método del teorema del cateto y posteriormente transformar el rectángulo en un triángulo. Para ahorrarnos estos pasos vamos a hacerlo directamente: el área del círculo es pi por el radio al cuadrado. El área del triángulo es base por altura partido por dos.
Si tomamos como base del triángulo la longitud de la circunferencia tenemos que es dos por pi por el radio. En consecuencia el área del triángulo es el producto de la base, esto es dos por pi por el radio, por la altura r , a la que le damos el valor del radio y todo ello partido por dos. Tenemos por tanto que el área del triángulo es pi por el radio al cuadrado, igual que el círculo.





En la figura de la derecha podemos ver un cuadrado en cuyas esquinas colocamos cuatro triángulos rectángulos iguales. Podemos observar que en el centro nos queda un cuadrado de color amarillo, el mismo cuadrado aparece inscrito también en el cuadrado de la izquierda, y al mismo tiempo aparecen también los cuatro triángulos rectángulos dispuestos a la izquierda de forma vertical y por encima de forma apaisada. Como podemos ver el espacio que queda dentro del cuadrado de la izquierda son dos cuadrados en color verde y azul.
Como los cuatro triángulos naranjas dejan esos dos cuadrados verde y azul en el caso de la izquierda, y cómo esos mismos cuadrados dejan en su interior el cuadrado amarillo en el caso de la derecha, la suma de las áreas de los cuadrados verde y azul es igual al área del cuadrado amarillo.
Podemos observar también que el cuadrado amarillo es la hipotenusa al cuadrado mientras que el cuadrado verde es un cateto al cuadrado y el azul es otro cateto al cuadrado de cualquiera de los cuatro triángulos que aparecen en el interior. En consecuencia acabamos de demostrar el teorema de Pitágoras, que la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado mas otro cateto al cuadrado, o lo que es lo mismo que el área del cuadrado amarillo es igual a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados.

Equivalente a la anterior, en el medio, el cuadrado azul + amarillo +4 triángulos blancos, ocupan igual espacio que -a la dcha.-, el gris + los 4 blancos, eso significa que la suma del azul y amarillo es igual al área del gris, por tanto la suma de los cuadrados azul y amarillo es igual al cuadrado gris 






Gráficamente podemos visualizar rápidamente quebrados proporcionales: en el círculo de la derecha 12 sectores circulares amarillos son a 16 sectores circulares (los azules más los amarillos) como en la circunferencia de la izquierda seis sectores circulares verdes son a ocho sectores circulares (los naranjas más los verdes). Observamos que el producto de medios es igual al producto de los extremos y que las dos figuras son divididas en fracciones a ¾: los sectores circulares amarillos son respecto a la circunferencia total ¾ de la misma, de la misma forma los sectores circulares verdes son también ¾ de la circunferencia completa. Tenemos en consecuencia que ¾, 6/8 y 12 /16 son elementos proporcionales y equivalentes, existe una relación de proporción entre ¾, 6/8 y 12 /16 y existe una relación de equivalencia: como las circunferencias son iguales, cada par de sectores circulares amarillos es equivalente (tienen el mismo área) a un sector circular verde, de igual forma cuatro sectores circulares amarillos son equivalentes a dos verdes, etc.


Un trapecio ACDE se transforma en un triángulo ACB. Se hace una paralela al segmento CD por él punto E. Donde esta recta paralela corte al segmento AD tenemos el nuevo vértice B del triángulo.





Para transformar cualquier polígono -a la izquierda- en otro que tenga un lado menos-a la derecha-, se toman dos puntos BC de dos lados contiguos y se traza el segmento que pasa por ellos, por el punto A se hace una paralela n al segmento anterior hasta que corte a la prolongación de la recta o -recta que pasa por c. Las rectas m n deben ser siempre paralelas, de esta forma se está transformando un triángulo en otro manteniendo la misma base m y la misma altura, sobre la recta n se coge cualquier punto por el cual se hace una perpendicular a la base m y así tenemos que todas las alturas son iguales.





En la figura de la izquierda ya se pudo demostrar que las tres figuras, el cuadrado, el rectángulo del triángulo, eran equivalentes. Para transformar el cuadrado en un rectángulo dado un segmento a del mismo, se hace un triángulo rectángulo y se toma como hipotenusa el lado del cuadrado, tomamos el lado del rectángulo como un cateto. Hacemos la mediatriz en la hipotenusa y donde corte a la prolongación del cateto a tenemos el centro de la circunferencia que pasa por los vértices cuadrado y cuyo diámetro es el otro lado del rectángulo.









Para determinar un trapecio equivalente a un polígono regular-a la izquierda-, se divide el polígono en triángulos cuyos vértices sean coincidentes en el centro de la figura. A continuación cogemos los triángulos y los disponemos como en la primera figura de la derecha, unos a continuación de otros, de esta forma obtenemos un trapecio.
Podemos construir un rectángulo equivalente si cortamos uno de los triángulos -el rojo- y pasamos el otro trozo a la esquina opuesta, como se puede observar en la tercera figura empezando a contar por la izquierda.
Por último podemos convertirlo en un romboide –a la derecha- si el último trozo rojo del rectángulo lo desplazamos y lo juntamos al otro trozo rojo como en la figura.






Tomamos dos cuadrados, el mediano y el menor de la figura, y los colocamos con una cara anexa y las bases alineadas. Alineamos el vértice superior derecho del mediano y el vértice derecho del menor. Este es el lado del cuadrado cuya área es la suma de los otros dos.
Este
teorema chino se puede comprobar al ver las figuras coloreadas: el cuadrado grande está compuesto de las zonas amarillas más 1 trozo naranja y azul que corresponden al cuadrado medio y más 1 trozo del violeta que corresponde al menor. Con ello queda demostrado que el cuadrado grande está formado por la suma de las áreas de los otros.

Otro ejemplo del caso anterior


Si desde un punto cualquiera de una hipérbola trazamos paralelas a las asíntotas, determinan con éstas un rombo o romboide que tiene siempre la misma área. En la figura todos los romboides -amarillo, azul, verde, etc- tienen igual área que el rombo rojo


No hay comentarios:

Publicar un comentario