En el dibujo observamos una figura denominada lúnula estudiada por Hipócrates que está formada por la diferencia entre un círculo menor menos otro mayor, la diferencia entre ambas figuras determinan una forma geométrica semejante a una luna.
En la figura vemos una posible equivalencia entre esta figura y un cuarto del cuadrado que se inscribe en la circunferencia mayor. La figura naranja y la figura azul tienen la misma área.
En el dibujo observamos otra equivalencia entre las figuras B y C, ambas tienen la misma área ya que la lúnula en color amarillo está formada por el triángulo equilátero más la superficie rosa más la superficie verde menos la superficie violeta. La superficie comprendida entre un arco y una cuerda de circunferencia se llama segmento circular, por tanto la lúnula está formada por el triángulo equilátero +2 segmentos circulares -1 esto es el triángulo equilátero +1 segmento circular, o sea la lúnula es igual a la figura naranja de la derecha. Por tanto la figura amarilla B y naranja C son equivalentes.
En la figura nº 1 observamos gráficamente el teorema de Pitágoras, refiere que la suma de las áreas de los cuadrados rosa y verde es igual al área azul del cuadrado mayor. Por proporcionalidad, si cogemos en la figura 2 las semicircunferencias correspondientes, el área de la azul será igual a la suma del área rosa más el área verde. Si ahora dibujamos en la figura 3 la simétrica de la circunferencia azul, vemos que corta a los dos semicircunferencias rosa y verde y se solapa con ellas en los dos tonos más oscuros, como es común a las tres figuras, tenemos que el triángulo azul tiene el mismo área que la suma de la porción rosa más la porción verde en forma de luna.
En la figura de la izquierda tenemos un triángulo azul ABC del que prolongamos sus lados, tomando una medida igual a cada lado por sus tres vértices obtenemos otros tres vértices DEF de un triángulo también equilátero. Se pide calcular la equivalencia de áreas entre ambos.
Podemos ver en la figura de la derecha la relación de áreas entre el triángulo azul y el verde, ambos tienen la misma base y el verde tiene el doble de altura, como podemos ver en los triángulos semejantes. Eso quiere decir que el área del verde es doble del área del triángulo azul, por tanto el área total del triángulo mayor está formado por tres verdes más el azul, esto es, 3 × 2 igual a 6 + 1, de ello se desprende que el área del triángulo mayor DEF es siete veces el área del triángulo azul ABC.
Se pide calcular la relación de áreas entre el triángulo amarillo y el de color siena de la figura de la izquierda. Si construimos su simétrico central de centro E, tal y como aparece en la figura de la derecha, observamos que por ser equilátero los vértices están sobre los puntos medios de los lados, y como el exterior también es equilátero, el triángulo amarillo es un cuarto del triángulo exterior.
Dados los dos cuadrados ABCD y EFGH, se pide inscribir el segundo en el primero de manera que sus vértices pasen por los lados del anterior. Hacemos una circunferencia que pasa por sus vértices FGEH cuyo centro es la intersección de sus diagonales y trasladamos esa circunferencia al cuadrado mayor, trasladamos también el punto G a la circunferencia si la colocáramos en igual posición.
Hay que pensar que ahora el cuadrado empieza a girar y por tanto ese punto K se desplazaría por la circunferencia hasta cortar al lado DC en L. Si cogemos en cada lado del cuadrado mayor una distancia igual a LC, ya podemos colocar el cuadrado, o también cogiendo las intersecciones de la circunferencia con el cuadrado mayor. Como podemos observar existiría otra posición para el cuadrado para que cumpliera esa condición y correspondería al simétrico del cuadrado amarillo respecto al eje horizontal o vertical, ambos centrados.
Dado un cuadrilátero ABCD, se trata de dividirlo en dos partes equivalentes o con la misma área. Se construye una línea entre los puntos CB y a continuación se hace una recta paralela a ésta por D, hasta que corta a la prolongación del lado AB en el punto E.
Ahora tenemos que el triángulo ACF es equivalente al triángulo FEC, por tener igual longitud en su base y la misma altura. Pero el triángulo CFE también es equivalente al cuadrilátero CDFB, ya que contiene un triángulo común CFB y el triángulo CDB tiene la misma área que triángulo CEB, por tener la misma base CB y altura. En consecuencia la recta CF divide al cuadrilátero en dos partes con la misma área, la amarilla y la azul.
2 áreas equivalentes 1- Se trata de construir un paralelogramo que sea equivalente al trapezoide ABCD de la figura uno. 2-Mediante el procedimiento usual, trazamos una recta m paralela al segmento DA por C y por B hacemos una recta BE paralela a la recta CA obteniendo en la intersección de ambas el punto E. Mediante este primer paso hemos obtenido un triángulo ACE equivalente al triángulo ACB, ya que tienen la misma base AC y la misma altura. Si unimos mediante un segmento los puntos AE y por el punto medio F de este segmento, trazamos una recta GH paralela a la recta DC tenemos ya un paralelogramo DCGH que tiene la misma área que la figura original. 3- Podemos seguir un procedimiento más sencillo si lo realizamos mediante el teorema de Varignon, en el procedimiento número tres tomamos los puntos medios H I J K de cada uno de los lados del cuadrilátero, al unirlos, tenemos un paralelogramo cuya área es la mitad del trapezoide dado ABCD. Lo duplicamos (lo volvemos a dibujar apoyado sobre uno de sus lados JI) y ya tenemos un paralelogramo KHLO con la misma área que la figura dada. 
El volumen de un cubo más el volumen de otro cubo nunca es igual a otro cubo que tiene por volumen la suma de los dos anteriores, por lo menos para números enteros y distintos de cero. Eso es lo que demuestra el teorema de Fermat, siempre y cuando los números de los que estemos hablando estén elevados a un número mayor de dos, sean enteros y distintos de cero.
Como podemos ver en el dibujo, en el cuadrado sí se verifica que el cuadrado de un número más el cuadrado de otro es igual a un cuadrado que tiene por área la suma de los otros dos.
En la figura de la izquierda tenemos un triángulo violeta, dos trapecios en color naranja y azul y un rectángulo amarillo. La disposición de los mismos genera como contorno un cuadrado formado por cuadrados más pequeños, de lado 7 × 7 centímetros, esto es un cuadrado de 49 centímetros cuadrados.
Obsérvese en la figura de la derecha que si desplazamos el trapecio naranja hasta la parte superior derecha del triángulo y bajamos el trapecio azul hasta la parte inferior del triángulo, obtenemos una nueva disposición en la que en la franja superior cabe el rectángulo amarillo y un nuevo cuadrado verde en el medio de la figura. Aunque el área de la figura sigue siendo de 49 cm², parece ser que la figura de la derecha es algo más grande por tener una figura más, el cuadrado verde.
El sagaz lector –si es que hay alguien ahí- se habrá dado cuenta de que la solución al problema radica en que las figuras no son exactamente iguales.
En la figura podemos observar la solución al ejercicio anterior. En la figura de la izquierda vemos el trapecio naranja que tiene seis unidades o lados del cubo a la izquierda, al pasarlo a la parte superior del triángulo violeta, como aparece en la figura de la derecha, le ampliamos mediante una línea paralela a la hipotenusa del triángulo para obtener su dimensión real hasta que ocupe las seis unidades de la figura de la izquierda. Con el trapecio azul hacemos lo mismo, tomamos las cinco unidades exactas del lado derecho, correspondientes a los lados de los cubos y lo colocamos en la parte de abajo sobre el triángulo violeta de la figura de la derecha.
Podemos comprobar que hay que ampliarle una franja cuyo borde inferior coincide con el borde inferior de la franja ampliada al trapecio naranja. Los dos trozos que le aumentamos a los dos trapecios, tal y como aparecen en la figura de la derecha suponen un desplazamiento del triángulo violeta o ampliación del mismo (ya que todas las figuras deben permanecer invariables), tomamos la longitud vertical de ese romboide o ampliación (romboide naranja más romboide azul más rojo) y la colocamos por debajo del triángulo obteniendo una franja en forma de rectángulo (formado por el trapecio rosa y el triángulo rojo). En consecuencia esta última figura formada por el trapecio rosa y el triángulo rojo tiene obviamente la misma área que el cuadrado verde.
En la figura superior podemos observar un rectángulo dado A en color azul. Se pide transformarlo en un romboide R que tenga de lado la longitud n. Se coloca esta longitud a partir del vértice C del rectángulo y se hace centro en este punto haciendo el arco g hasta que corta a la altura del rectángulo. La intersección del arco con t (la línea horizontal que pasa por el lado superior del rectángulo) determina el lado del romboide. Para obtener el otro lado del romboide basta con hacer por el otro extremo de la base del rectángulo una línea paralela a la anterior hasta que corta la recta t. Si trasladamos la base en la dirección que acabamos de obtener obtenemos también el romboide. Todos los romboides que tengan la misma base desplazada en cualquier dirección hasta que corten a la línea t tienen la misma área, ya que al igual que el rectángulo el área del romboide es base por altura. Esto se puede comprobar en el ejercicio inferior en el que se transforma el romboide en un rectángulo al desplazar un fragmento triangular J del mismo y se coloca en su parte superior.
En la segunda figura inferior podemos observar que si al romboide le quitamos el triángulo y se lo sumamos al rectángulo en la parte superior tenemos un nuevo rectángulo que tiene por base la longitud dada n. De esta forma podemos obtener un rectángulo equivalente a otro teniendo como dato el lado del nuevo rectángulo.
Teniendo en cuenta el ejercicio anterior en el que un cuadrado o rectángulo se transforma en romboide al desplazar la base del mismo podemos construir un cuadrado cuya área sea igual a la suma de otros dos dados, que no es otra cosa que el teorema de Pitágoras. En la figura de la derecha tenemos dos cuadrados dados A B que se transforman en romboides A’ B’ con la misma área (base por altura del primero b . h y del segundo b’. h’, son idénticas las áreas en los cuadrados y romboides).
En la figura de la izquierda, transformamos los cuadrados en romboides como hicimos en el ejercicio anterior y a continuación restamos los fragmentos en color rojo y azul oscuro S P, respectivamente. Estos dos triángulos los sumamos a la parte superior S’ P’ y obtenemos un nuevo cuadrado que es idéntico al que aparece también por encima de este en color verde y magenta. Se verifica que son idénticos los 2, pues mediante un arco hemos pasado las alturas de los romboides y verificamos que el cuadrado (formado por los trapecios azul claro y amarillo más el triángulo rojo y azul oscuro) es exacto al cuadrado mayor del teorema de Pitágoras (formado por los dos rectángulos verde y magenta).
 ¿Qué porción de área ocupa la figura roja? La solución la tenemos en el siguiente cuadro, si dividimos en triángulos observamos que éstos tienen la misma base y altura que los demás adyacentes por lo que son equivalentes a ¼ de cada cuadrado interior. La figura roja es por tanto ¼ del cuadrado azul en la que está inscrita.   ¿Qué ángulo cubren los sectores circulares rojos? Como los ángulos de un triángulo suman 180º, los de un cuadrilátero sumarán el doble, por lo que el ángulo que forman los sectores es de 360º, esto es, una circunferencia completa.  Dado el triángulo ABC, determinar dos triángulos equiláteros cuya diferencia de área sea igual a ABC. 1- Hacemos 3 triángulos equiláteros apoyados en los lados del triángulo dado ABC por la parte interior del triángulo. Unimos los puntos medios de esos tres triángulos y obtenemos un nuevo triángulo equilátero (en azul). 2- Hacemos 3 triángulos equiláteros apoyados en los lados del triángulo dado ABC por la parte exterior del triángulo. Unimos los puntos medios de esos tres triángulos y obtenemos un nuevo triángulo equilátero (en azul). La diferencia de área de los dos triángulos azules es el dado ABC, según el teorema de Napoleón.  En el teorema de Pitágoras tenemos dos triángulos equivalentes ABC y BDE, cuyas áreas son iguales ya que ambos tienen la misma base BC , BD y la misma altura, que es el radio de la circunferencia, BT o BC, respectivamente. Pero como los triángulos que tienen la misma base y la misma altura son equivalentes también tenemos el triángulo BDE es equivalente al triángulo BDC y el triángulo ABC es equivalente al triángulo ABP, ya que estos dos tienen la misma base AB y la misma altura BP. Si los triángulos ABP y BDC son equivalentes, al duplicar el área de ambos tenemos que el cuadrado BDJC y el rectángulo ABNP también son equivalentes, y esto es una demostración euclidiana del teorema del cateto. Haciendo lo mismo con el otro cuadrado ECLU obtenemos su rectángulo equivalente VENP. De esta forma queda demostrado el teorema de Pitágoras de forma euclidiana y la equivalencia de áreas entre el cuadrado mayor ABVE y la suma de los dos menores BDJC y ECLU. Según el ejercicio anterior quedaba demostrada la equivalencia entre los dos triángulos ABC y BDE. Tenemos también demostrado en el ejercicio anterior que el cuadrado de BC dividido entre dos es igual al rectángulo AB por BF dividido entre dos, con lo que el cuadrado de lado BC es equivalente al rectángulo AB por BF. De igual forma el cuadrado de lado CE es equivalente al rectángulo de lado AB por FE. En consecuencia la suma de las áreas de los rectángulos (que es el cuadrado mayor de la figura) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados medio y menor. De esta forma queda demostrado el teorema de Pitágoras mediante un procedimiento euclidiano. Se trata de demostrar (figura de la derecha) que el área del cuadrado A es igual a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados B C, que no es otra cosa que el teorema de Pitágoras. El procedimiento que vamos a seguir es mediante el corte de trozos de las figuras y desplazamiento de los mismos. En la figura de la izquierda, al cuadrado PS formado por los trozos verde y amarillo, se le quita el trozo amarillo S y se desplaza en dirección horizontal obteniendo de esta forma S’. De esta manera tenemos que P+S’=P+S, el área sigue siendo la misma.Hacemos lo mismo con el otro cuadrado FQ formado por los fragmentos morado y azul, desplazamos el fragmento azul Q y le quitamos el trozo rojo T y lo trasladamos a la parte superior obteniendo T’, tenemos por tanto que Q+F= Q’+F+T’, ambos elementos son equivalentes. Desplazamos hacia abajo ambas figuras obtenidas hasta que los vértices inferiores toquen a los vértices del cuadrado inferior, teniendo que P+S’ se transforma en R’+H y que Q’+F+T’ se transforma en I’+J. Desplazamos a la parte inferior los dos triángulos R’ I’ y los sumamos a los dos trapecios H J, obteniendo el cuadrado mayor de la figura: J + H + R + I, de esta forma hemos visto que sumando las áreas de los dos cuadrados menores B C obtenemos un cuadrado mayor A con el mismo área, que era lo que se quería demostrar. Construir un triángulo equilátero equivalente a un cuadrado de lado dos unidades. Vamos a resolver este ejercicio aplicando el teorema del cateto. 
Dado el cuadrado ABCD, se trata de construir un triángulo equilátero ASQ que tenga el mismo área que él. Es muy fácil partiendo de un triángulo equilátero cualquiera construir un cuadrado equivalente, para hacer el proceso inverso podemos seguir el mismo procedimiento y luego transformar por proporcionalidad el cuadrado dado en el triángulo semejante al construido.
Dado el cuadrado amarillo ABCD, utilizamos uno de sus lados AD para construir un triángulo equilátero (en color verde). Dibujamos su altura FE y mediatriz GH de la altura, esta mediatriz corta al segmento AB en el punto G.
Tomamos la medida AD y haciendo centro en el punto A hacemos un arco hasta que corta a la prolongación de AB en el punto I.
Construimos una semicircunferencia que corta a la mediatriz GH en el punto J. La longitud AJ es el lado del cuadrado azul equivalente al triángulo equilátero verde que hemos escogido.
Girando el lado del triángulo AE hasta hacerlo coincidir con la base o lado del cuadrado azul AJ, tenemos ya ambas figuras dispuestas con dos lados y un vértice coincidentes. A continuación unimos el vértice del cuadrado L con el vértice del triángulo N, de esta manera tenemos la dirección que transforma ambos vértices, utilizando esta misma dirección por el cuadrado girado APOM, a partir del punto P y en la prolongación de AN tenemos el nuevo vértice Q del triángulo que es semejante al anterior (de igual forma pero de distinto tamaño), este triángulo es equivalente al cuadrado dado, ya que es proporcional junto con el cuadrado al otro cuadrado azul y verde aceituna dibujados anteriormente.
En la figura inferior podemos ver paso por paso la construcción mediante el programa Java
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