Enanos equivalentes

En la figura superior vemos un rectángulo que contiene 15 enanos, mientras que en la figura inferior vemos otro rectángulo que contiene 14. Los dos rectángulos son iguales, tienen sus franjas inferiores invariables, mientras que las dos franjas superiores de cada rectángulo se intercambian, la de la derecha pasa a la izquierda y la de la izquierda a la derecha. Como podemos comprobar al hacer el intercambio varía el número de enanos. ¿A dónde se ha ido el enano que falta?

¡Nos están creciendo los enanos!

Una solución se puede ver en el siguiente esquema, las dos franjas que se intercambian tienen los mismos dibujos por lo que debería salir exactamente la misma superficie de dibujo de enanos. Si la superficie de figuras resulta invariable y se pierde un enano por el camino, la solución sólo puede estar en que al combinar las dos franjas en distintas posiciones, cuando sale un enano menos, quiere decir que han crecido los demás enanos. En el dibujo de la derecha se puede comprobar mediante un esquema que efectivamente nos crecen los enanos, el fragmento superior de la izquierda A (en color azul), al pasarlo a la derecha y contabilizarlo con los de abajo siguen saliendo cinco enanos, pero en el dibujo ya se ve uno un poco más grande (el tercero contando por la derecha). La franja B del extremo superior derecho (en color amarillo), al pasarla a la izquierda observamos que se pierde un enano por el camino, pero también podemos observar que el de la izquierda del dibujo inferior crece el primer enano contando por la izquierda.

En esta figura formada por segmentos rojos y verdes podemos observar una explicación más intuitiva del ejercicio anterior. A la izquierda tenemos que los segmentos rojos y verdes unidos forman 9 segmentos de mayor dimensión que los 10 de la figura de la derecha. Tomamos la figura de la izquierda y cogemos el triángulo inferior de segmentos verdes y hacemos un desplazamiento del triángulo, conseguimos por tanto la figura de la derecha en la que la suma de los segmentos rojos más los verdes tienen menor dimensión, pero como no puede bajar la longitud total de la suma de los segmentos ya que siguen existiendo todos, aparece uno más para compensar la pérdida en su longitud. 

Otro ejemplo más claro por haber menos figuras:

A la derecha vemos cómo los rectángulos incrementan su tamaño a costa de perder un  rectángulo.

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Como el área de un círculo es el radio al cuadrado por 3,14 y el de la elipse es el semidiámetro mayor por el semidiámetro menor por 3,14, tenemos que si queremos hacer una elipse equivalente a un círculo, igualamos las áreas a.b.pi=r.r.pi, a.b=r.r y tenemos que el radio del círculo es igual al producto de los semidiámetros de la elipse dividido entre el radio. R=a.b/r, P.ej.: r=8.2/4, r=4
Por ejemplo, 4 × 4 = 16 y 8 x 2 = 16 el producto de dos semidiámetros 8 2 igual al producto de los radios 4 4. De la figura se desprende también que por ser común la zona blanca, el trozo azul tiene el mismo área que el trozo amarillo.






En la figura B tenemos un hexágono regular en el que los 2 triángulos superiores e inferiores se transforman en un rectángulo respectivamente -figura A. Tenemos en consecuencia un hexágono regular equivalente a un rectángulo. En la figura C directamente se cogen los triángulos del borde inferior y se trasladan a la parte superior, obteniendo así la misma figura.




el lado del cuadrado es media proporcional entre los lados del rectángulo: el lado menor del rectángulo es al lado del cuadrado como el lado del cuadrado es al lado mayor del rectángulo. Éste detalle que corresponde al teorema de la altura se puede observar en la figura ya que el lado menor del rectángulo está girado y pasa a ser el cateto menor del triángulo que tiene por cateto mayor el lado del cuadrado. Este cateto mayor se transforma en el menor del triángulo rectángulo cuyo cateto mayor es el lado mayor del rectángulo.





Para que el círculo tenga el mismo área que el cuadrado, igualamos las áreas. Despejando observamos que el lado del cuadrado es media proporcional entre el radio y entre el radio multiplicado por pi. En consecuencia cogemos como diámetro de la circunferencia gris dos dimensiones, la que corresponde al radio, y la que corresponde al radio por 3,14. En la separación de estas dos magnitudes levantamos una vertical hasta que corte a la semicircunferencia. Ese segmento vertical es el lado del cuadrado que es equivalente al círculo.





Gráficamente tenemos aquí el teorema de Pitágoras. De la misma forma los círculos inscritos en los cuadrados cumplen la misma condición que los cuadrados en el teorema: el área sumada de los dos círculos menores B C es igual al área del círculo mayor A.